すべての辺の長さが4の正四角錐OABCDにおいて、辺AB, CDの中点をそれぞれM, Nとし、頂点OからMNに下ろした垂線をOHとする。$\angle OMN = \theta$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\cos \theta$の値を求めよ。 (2) OHの長さを求めよ。 (3) 正四角錐OABCDの体積Vを求めよ。ただし、OHは四角形ABCDに垂直であることを用いてよい。

1. 問題の内容

すべての辺の長さが4の正四角錐OABCDにおいて、辺AB, CDの中点をそれぞれM, Nとし、頂点OからMNに下ろした垂線をOHとする。$\angle OMN = \theta$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\cos \theta$の値を求めよ。

(2) OHの長さを求めよ。

(3) 正四角錐OABCDの体積Vを求めよ。ただし、OHは四角形ABCDに垂直であることを用いてよい。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta$の値を求める。

まず、$\triangle OAB$は正三角形であり、$M$は$AB$の中点なので、$OM$は$AB$の垂直二等分線である。よって、$OM \perp AB$。

同様に、$ON \perp CD$である。

また、$ABCD$は正方形なので、$MN \perp AB$かつ$MN \perp CD$である。

$OM = ON = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3}$

$MN = AB = 4$

$\triangle OMN$において、余弦定理より

$ON^2 = OM^2 + MN^2 - 2OM \cdot MN \cdot \cos \theta$

$(2\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos \theta$

$12 = 12 + 16 - 16\sqrt{3} \cos \theta$

$16\sqrt{3} \cos \theta = 16$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) OHの長さを求める。

$\triangle OMH$は直角三角形なので、$OH^2 = OM^2 - MH^2$

$MH = \frac{MN}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$OH^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2^2 = 12 - 4 = 8$

$OH = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(3) 正四角錐OABCDの体積Vを求める。

正方形ABCDの面積は$4^2 = 16$

よって、体積Vは

$V = \frac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ})$

$V = \frac{1}{3} \times 16 \times 2\sqrt{2} = \frac{32\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $OH = 2\sqrt{2}$

(3) $V = \frac{32\sqrt{2}}{3}$