行列 $A$ が対称行列であるとき、$A^2$ も対称行列であることを証明する。

1. 問題の内容

行列 $A$ が対称行列であるとき、$A^2$ も対称行列であることを証明する。

2. 解き方の手順

* 対称行列の定義から始める。行列 $A$ が対称行列であるとは、$A^T = A$ が成り立つことである。ここで、$A^T$ は $A$ の転置行列を表す。

* $A^2$ が対称行列であることを示すためには、$(A^2)^T = A^2$ を示す必要がある。

* 転置行列の性質を用いる。特に、$(AB)^T = B^T A^T$ である。

* $A^2 = A \cdot A$ なので、$(A^2)^T = (A \cdot A)^T = A^T A^T$ となる。

* $A$ が対称行列なので、$A^T = A$ を代入すると、$A^T A^T = A A = A^2$ となる。

* したがって、$(A^2)^T = A^2$ が成り立つため、$A^2$ は対称行列である。

3. 最終的な答え

$A$ が対称行列ならば、$A^2$ も対称行列である。