$\frac{8a+8}{a^2+4a+12}$ が整数となるような整数 $a$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

$\frac{8a+8}{a^2+4a+12}$ が整数となるような整数 $a$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、分母を平方完成させると

$a^2+4a+12 = (a+2)^2 + 8$

となる。したがって、$a^2+4a+12 \ge 8$ である。

与えられた分数が整数になるためには、

(i) $\frac{8a+8}{a^2+4a+12} = 0$

(ii) $\left| \frac{8a+8}{a^2+4a+12} \right| \ge 1$

のいずれかが成り立つ必要がある。

(i) $\frac{8a+8}{a^2+4a+12} = 0$ のとき、分子 $8a+8 = 0$ より $a = -1$ である。

このとき、分母は $(-1)^2 + 4(-1) + 12 = 1 - 4 + 12 = 9 \ne 0$ なので、$a = -1$ は解の一つである。

(ii) $\left| \frac{8a+8}{a^2+4a+12} \right| \ge 1$ のとき、

$|8a+8| \ge |a^2+4a+12|$

両辺は正であるから、2乗しても同値である。

$(8a+8)^2 \ge (a^2+4a+12)^2$

$64(a+1)^2 \ge (a^2+4a+12)^2$

$64(a^2+2a+1) \ge a^4+8a^3+40a^2+96a+144$

$64a^2+128a+64 \ge a^4+8a^3+40a^2+96a+144$

$0 \ge a^4+8a^3-24a^2-32a+80$

$a^4+8a^3-24a^2-32a+80 \le 0$

$a=-1$ を代入すると、

$(-1)^4+8(-1)^3-24(-1)^2-32(-1)+80 = 1-8-24+32+80 = 81 > 0$

$a=-2$ を代入すると、

$(-2)^4+8(-2)^3-24(-2)^2-32(-2)+80 = 16-64-96+64+80 = 0$

$a=-4$ を代入すると、

$(-4)^4+8(-4)^3-24(-4)^2-32(-4)+80 = 256 - 512 - 384 + 128 + 80 = -432 < 0$

$a=0$ を代入すると、$0^4+8(0)^3-24(0)^2-32(0)+80 = 80 > 0$

$a=1$ を代入すると、$1+8-24-32+80 = 33 > 0$

$a=2$ を代入すると、$16+64-96-64+80 = 0$

$a=3$ を代入すると、$81+216-216-96+80 = 65 > 0$

$f(a) = a^4+8a^3-24a^2-32a+80$ とおくと、

$f(-2)=0$ なので、$f(a)$ は $(a+2)$ を因数に持つ。

$f(2)=0$ なので、$f(a)$ は $(a-2)$ を因数に持つ。

したがって、$(a+2)(a-2) = a^2-4$ で割ると、

$f(a) = (a^2-4)(a^2+8a-20)$

$f(a) = (a-2)(a+2)(a+10)(a-2) = (a-2)^2(a+2)(a+10)$

$f(a) \le 0$ となるのは、$a=-10$ または $-2 \le a \le 2$ である。

$a=-10$ のとき、$\frac{8a+8}{a^2+4a+12} = \frac{-80+8}{100-40+12} = \frac{-72}{72} = -1$

$a=-2$ のとき、$\frac{8(-2)+8}{(-2)^2+4(-2)+12} = \frac{-16+8}{4-8+12} = \frac{-8}{8} = -1$

$a=-1$ のとき、$\frac{8(-1)+8}{(-1)^2+4(-1)+12} = \frac{0}{1-4+12} = \frac{0}{9} = 0$

$a=0$ のとき、$\frac{8(0)+8}{0^2+4(0)+12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ (整数ではない)

$a=1$ のとき、$\frac{8(1)+8}{1^2+4(1)+12} = \frac{16}{17}$ (整数ではない)

$a=2$ のとき、$\frac{8(2)+8}{2^2+4(2)+12} = \frac{24}{4+8+12} = \frac{24}{24} = 1$

したがって、求める整数 $a$ は、$-10, -2, -1, 2$ である。

3. 最終的な答え

$a = -10, -2, -1, 2$