## 回答

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1. 問題の内容

画像の問題は全部で5つあります。

* **問題4:** 行列 $A \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ を満たす行列 $A$ を求める問題です。

* **問題5:** 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

* **問題6:** 行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 & -2 \\ 18 & 8 & -1 & -13 \\ 13 & 2 & -13 & 1 \\ 10 & 4 & -5 & -9 \end{pmatrix}$ の階数 (rank) を求める問題です。

* **問題7:** ベクトル $\vec{a} = (4, -1, -1)$ と $\vec{b} = (2, -2, 1)$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ とします。

* **問題8:** ベクトル $\vec{a} = (3, 4, 2)$ と $\vec{b} = (1, 1, 2)$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を求める問題です。

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2. 解き方の手順

* **問題4:**

行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ とします。$A B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ を満たす $A$ を求めます。まず、$B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求めます。

$B^{-1} = \frac{1}{(3)(2) - (1)(4)} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix}$

したがって、$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ -2 & 3/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 5/2 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$

* **問題5:**

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めるために、余因子行列を計算し、行列式で割ります。

$\det(A) = 1 \cdot (2 - (-5)) - 1 \cdot (-4 - 0) + (-5) \cdot (2 - 0) = 7 + 4 - 10 = 1$

余因子行列は、

$C = \begin{pmatrix} 7 & 4 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \\ 10 & 5 & 3 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = C^T = \begin{pmatrix} 7 & -3 & 10 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

* **問題6:**

行列 $A$ の階数を求めるために、行列を簡約化します。

実際に簡約化を実行すると、階数は2となります。

* **問題7:**

ベクトル $\vec{a} = (4, -1, -1)$ と $\vec{b} = (2, -2, 1)$ のなす角 $\theta$ は、内積を用いて求めることができます。

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{(4)(2) + (-1)(-2) + (-1)(1)}{\sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-1)^2} \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{8 + 2 - 1}{\sqrt{18} \sqrt{9}} = \frac{9}{\sqrt{18} \cdot 3} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = \arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^\circ$

* **問題8:**

ベクトル $\vec{a} = (3, 4, 2)$ と $\vec{b} = (1, 1, 2)$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を求めます。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} (4)(2) - (2)(1) \\ (2)(1) - (3)(2) \\ (3)(1) - (4)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 2 \\ 2 - 6 \\ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}$

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3. 最終的な答え

* **問題4:** $A = \begin{pmatrix} -3 & 5/2 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$

* **問題5:** $A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -3 & 10 \\ 4 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

* **問題6:** rank $A = 2$

* **問題7:** $\theta = 45^\circ$

* **問題8:** $\vec{a} \times \vec{b} = (6, -4, -1)$