関数 $f(x) = x^2 - 6x + 10$ について、以下の問いに答えます。 (1) $0 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。 (2) $a > 0$ とするとき、$0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。 (3) $b$ を定数とするとき、$b \le x \le b+2$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

はい、承知しました。問題文を読み、解答を作成します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 6x + 10$ について、以下の問いに答えます。

(1) $0 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

(2) $a > 0$ とするとき、$0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

(3) $b$ を定数とするとき、$b \le x \le b+2$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 - 9 + 10 = (x - 3)^2 + 1$

この式から、$f(x)$ は $x = 3$ で最小値 $1$ をとることがわかります。また、軸は $x = 3$ です。

(1) $0 \le x \le 5$ における最大値と最小値

定義域に軸 $x=3$ が含まれています。

最小値は $f(3) = 1$ です。

最大値を求めるために、定義域の端点 $x = 0$ と $x = 5$ での値を比較します。

$f(0) = (0 - 3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

$f(5) = (5 - 3)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

したがって、最大値は $f(0) = 10$ です。

(2) $a > 0$ とするとき、$0 \le x \le a$ における最大値と最小値

場合分けが必要です。

(i) $0 < a < 3$ のとき

最小値は $x = a$ で $f(a) = (a - 3)^2 + 1$

最大値は $x = 0$ で $f(0) = 10$

(ii) $a = 3$ のとき

最小値は $x = 3$ で $f(3) = 1$

最大値は $x = 0$ で $f(0) = 10$

(iii) $a > 3$ のとき

最小値は $x = 3$ で $f(3) = 1$

最大値は $f(0)$ と $f(a)$ を比較します。

$f(0) = 10$

$f(a) = (a - 3)^2 + 1$

$f(a) - f(0) = (a - 3)^2 + 1 - 10 = a^2 - 6a + 9 - 9 = a^2 - 6a = a(a - 6)$

$3 < a < 6$ のとき、$f(a) < f(0)$ なので最大値は $f(0) = 10$

$a = 6$ のとき、$f(a) = f(0) = 10$ なので最大値は $10$

$a > 6$ のとき、$f(a) > f(0)$ なので最大値は $f(a) = (a - 3)^2 + 1$

まとめると

$0 < a \le 3$ のとき、最小値は $(a-3)^2 + 1$、最大値は $10$

$3 < a \le 6$ のとき、最小値は $1$、最大値は $10$

$a > 6$ のとき、最小値は $1$、最大値は $(a-3)^2 + 1$

(3) $b$ を定数とするとき、$b \le x \le b+2$ における最大値と最小値

定義域の幅は2です。軸 $x = 3$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けをします。

(i) $b+2 < 3$ つまり $b < 1$ のとき

$f(x)$ は単調減少なので、$x = b$ で最大値 $f(b) = (b - 3)^2 + 1$ をとり、$x = b+2$ で最小値 $f(b+2) = (b + 2 - 3)^2 + 1 = (b - 1)^2 + 1$ をとります。

(ii) $b > 3$ のとき

$f(x)$ は単調増加なので、$x = b$ で最小値 $f(b) = (b - 3)^2 + 1$ をとり、$x = b+2$ で最大値 $f(b+2) = (b + 2 - 3)^2 + 1 = (b - 1)^2 + 1$ をとります。

(iii) $b \le 3 \le b+2$ つまり $1 \le b \le 3$ のとき

最小値は $x = 3$ で $f(3) = 1$ です。

最大値は $f(b)$ と $f(b+2)$ のどちらか大きい方です。

$f(b) = (b - 3)^2 + 1$

$f(b+2) = (b + 2 - 3)^2 + 1 = (b - 1)^2 + 1$

$f(b) - f(b+2) = (b - 3)^2 - (b - 1)^2 = (b^2 - 6b + 9) - (b^2 - 2b + 1) = -4b + 8 = -4(b - 2)$

$1 \le b < 2$ のとき、$f(b) > f(b+2)$ なので最大値は $f(b) = (b - 3)^2 + 1$

$b = 2$ のとき、$f(b) = f(b+2)$ なので最大値は $f(2) = f(4) = (2-3)^2 + 1 = 2$

$2 < b \le 3$ のとき、$f(b) < f(b+2)$ なので最大値は $f(b+2) = (b - 1)^2 + 1$

まとめると

$b < 1$ のとき、最小値 $(b-1)^2+1$, 最大値 $(b-3)^2+1$

$1 \le b < 2$ のとき、最小値 $1$, 最大値 $(b-3)^2+1$

$b = 2$ のとき、最小値 $1$, 最大値 $2$

$2 < b \le 3$ のとき、最小値 $1$, 最大値 $(b-1)^2+1$

$b > 3$ のとき、最小値 $(b-3)^2+1$, 最大値 $(b-1)^2+1$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $10$、最小値: $1$

(2)

$0 < a \le 3$ のとき、最小値: $(a-3)^2 + 1$、最大値: $10$

$3 < a \le 6$ のとき、最小値: $1$、最大値: $10$

$a > 6$ のとき、最小値: $1$、最大値: $(a-3)^2 + 1$

(3)

$b < 1$ のとき、最小値: $(b-1)^2+1$, 最大値: $(b-3)^2+1$

$1 \le b < 2$ のとき、最小値: $1$, 最大値: $(b-3)^2+1$

$b = 2$ のとき、最小値: $1$, 最大値: $2$

$2 < b \le 3$ のとき、最小値: $1$, 最大値: $(b-1)^2+1$

$b > 3$ のとき、最小値: $(b-3)^2+1$, 最大値: $(b-1)^2+1$