以下の5つの問題を解きます。 (1) $(2\sqrt{5}-\sqrt{3}-3)(2\sqrt{5}-\sqrt{3}+3)$ を計算する。 (2) $(x+1)(x^2-x+1)$ を展開して簡単にする。 (3) $x - \frac{1}{x} = 4$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める。 (4) $a^2 - ac + bc - b^2$ を因数分解する。 (5) 二次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{7}{2}$ のグラフの頂点の座標を求める。

1. 問題の内容

以下の5つの問題を解きます。

(1) $(2\sqrt{5}-\sqrt{3}-3)(2\sqrt{5}-\sqrt{3}+3)$ を計算する。

(2) $(x+1)(x^2-x+1)$ を展開して簡単にする。

(3) $x - \frac{1}{x} = 4$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める。

(4) $a^2 - ac + bc - b^2$ を因数分解する。

(5) 二次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{7}{2}$ のグラフの頂点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(2\sqrt{5} - \sqrt{3} - 3)(2\sqrt{5} - \sqrt{3} + 3)$ を計算します。

$A = 2\sqrt{5} - \sqrt{3}$ と置くと、式は $(A-3)(A+3)$ となります。

これは $(A-3)(A+3) = A^2 - 3^2 = A^2 - 9$ と展開できます。

$A = 2\sqrt{5} - \sqrt{3}$ なので、$A^2 = (2\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2(2\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 20 - 4\sqrt{15} + 3 = 23 - 4\sqrt{15}$ となります。

よって、$(A-3)(A+3) = A^2 - 9 = (23 - 4\sqrt{15}) - 9 = 14 - 4\sqrt{15}$ となります。

(2) $(x+1)(x^2-x+1)$ を展開します。

$(x+1)(x^2-x+1) = x(x^2-x+1) + 1(x^2-x+1) = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^3 + 1$ となります。

(3) $x - \frac{1}{x} = 4$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めます。

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$ となります。

$x - \frac{1}{x} = 4$ なので、$(x - \frac{1}{x})^2 = 4^2 = 16$ となります。

よって、$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 16$ となり、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 + 2 = 18$ となります。

(4) $a^2 - ac + bc - b^2$ を因数分解します。

$a^2 - ac + bc - b^2 = a^2 - b^2 - ac + bc = (a-b)(a+b) - c(a-b) = (a-b)(a+b-c)$ となります。

(5) 二次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{7}{2}$ のグラフの頂点の座標を求めます。

$y = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{7}{2} = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) + \frac{7}{2} = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) + \frac{7}{2} = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{8}{2} = -\frac{1}{2}(x-1)^2 + 4$ と変形できます。

よって、頂点の座標は $(1, 4)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $14 - 4\sqrt{15}$

(2) $x^3 + 1$

(3) $18$

(4) $(a-b)(a+b-c)$

(5) $(1, 4)$