一つ目の問題は、行列 $\begin{pmatrix} 1 & -2 & a & 1 \end{pmatrix}$ が与えられたときに、$a$ についての必要十分条件を求める問題です。 二つ目の問題は、$n$ 次正方行列 $A, B$ に対して、${}^t A B$ が正則ならば、$A, B$ はいずれも正則であることを示す問題です。

1. 問題の内容

一つ目の問題は、行列

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & a & 1 \end{pmatrix}$

が与えられたときに、$a$ についての必要十分条件を求める問題です。

二つ目の問題は、$n$ 次正方行列 $A, B$ に対して、${}^t A B$ が正則ならば、$A, B$ はいずれも正則であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

一つ目の問題：

行列が正則である条件は、その行列式が 0 でないことです。与えられた行列は $1 \times 4$ の行列であるため、正方行列ではありません。したがって、行列式を計算することはできません。したがって、この質問は誤りです。行列式の計算は正方行列のみに適用されます。

質問はおそらく，

$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ a & 1 \end{pmatrix}$

のような正方行列に対して，$A$が正則となるための $a$ の必要十分条件を求めることを意図していると思われます。

この場合、$A$が正則となるための必要十分条件は、$\det(A) \ne 0$ であることです。

$\det(A) = 1 \cdot 1 - (-2) \cdot a = 1 + 2a$.

したがって、$1 + 2a \ne 0$、つまり、$a \ne -\frac{1}{2}$ が必要十分条件となります。

二つ目の問題：

${}^t A B$ が正則であると仮定します。これは、ある行列 $C$ が存在して、

${}^t A B C = I$

となることを意味します。

ここで、$I$ は $n$ 次の単位行列です。

両辺の行列式をとると、

$\det({}^t A B C) = \det(I) = 1$

行列式の性質より、

$\det({}^t A) \det(B) \det(C) = 1$

また、$\det({}^t A) = \det(A)$ であるから、

$\det(A) \det(B) \det(C) = 1$

$\det(A)$, $\det(B)$, $\det(C)$ はいずれも 0 ではありません。

したがって、$\det(A) \ne 0$ および $\det(B) \ne 0$ が成り立ちます。

これは、$A$ と $B$ がともに正則であることを意味します。

3. 最終的な答え

一つ目の問題：$a \ne -\frac{1}{2}$

二つ目の問題：証明終わり