（6）二次方程式 $ax^2 + bx - 3 = 0$ の2つの解が $x = 2$ と $x = -\frac{3}{2}$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。 （7）$\sin 135^\circ \cdot \cos 45^\circ + \tan 60^\circ \cdot \cos 150^\circ$ の値を計算する。

1. 問題の内容

（6）二次方程式 $ax^2 + bx - 3 = 0$ の2つの解が $x = 2$ と $x = -\frac{3}{2}$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

（7）$\sin 135^\circ \cdot \cos 45^\circ + \tan 60^\circ \cdot \cos 150^\circ$ の値を計算する。

2. 解き方の手順

(6) 解と係数の関係を使う。2つの解の和と積は次のようになる。

解の和: $2 + (-\frac{3}{2}) = \frac{1}{2}$

解の積: $2 \cdot (-\frac{3}{2}) = -3$

二次方程式 $ax^2 + bx - 3 = 0$ を $x^2 + \frac{b}{a}x - \frac{3}{a} = 0$ と変形する。

解と係数の関係より、

解の和は $-\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$

解の積は $-\frac{3}{a} = -3$

$-\frac{3}{a} = -3$ より、$a = 1$

$-\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$ に $a = 1$ を代入すると、$-b = \frac{1}{2}$ より $b = -\frac{1}{2}$

(7) 三角関数の値を代入して計算する。

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

$\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 135^\circ \cdot \cos 45^\circ + \tan 60^\circ \cdot \cos 150^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$= \frac{2}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1$

3. 最終的な答え

(6) $a = 1$, $b = -\frac{1}{2}$

(7) $-1$