与えられた拡大係数行列 $\begin{pmatrix} a & 8 & 1 & 2 \\ -2 & 5 & -2 & -1 \\ 1 & -2 & a & 1 \end{pmatrix}$ を持つ連立1次方程式がただ1つの解を持つための、定数 $a$ についての必要十分条件を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた拡大係数行列

$\begin{pmatrix} a & 8 & 1 & 2 \\ -2 & 5 & -2 & -1 \\ 1 & -2 & a & 1 \end{pmatrix}$

を持つ連立1次方程式がただ1つの解を持つための、定数 $a$ についての必要十分条件を求めよ。

2. 解き方の手順

連立1次方程式がただ1つの解を持つための必要十分条件は、係数行列の行列式が0でないことです。

与えられた拡大係数行列から、係数行列を取り出すと

$A = \begin{pmatrix} a & 8 & 1 \\ -2 & 5 & -2 \\ 1 & -2 & a \end{pmatrix}$

となります。

この行列式 $\det(A)$ を計算します。

$\det(A) = a \begin{vmatrix} 5 & -2 \\ -2 & a \end{vmatrix} - 8 \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}$

$= a(5a - 4) - 8(-2a + 2) + 1(4 - 5)$

$= 5a^2 - 4a + 16a - 16 - 1$

$= 5a^2 + 12a - 17$

連立一次方程式がただ一つの解を持つためには、$\det(A) \neq 0$ である必要があります。

したがって、$5a^2 + 12a - 17 \neq 0$ となる $a$ の条件を求めます。

$5a^2 + 12a - 17 = (5a + 17)(a - 1)$

よって、$5a^2 + 12a - 17 = 0$ となるのは $a = 1$ または $a = -\frac{17}{5}$ のときです。

したがって、ただ1つの解を持つための必要十分条件は、$a \neq 1$ かつ $a \neq -\frac{17}{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$a \neq 1, -\frac{17}{5}$