問題は、与えられた線形写像の像空間と核空間を求めることです。 (1) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$, $f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ x \\ x-y \end{pmatrix}$ (2) $f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$, $f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z+w \\ x+w \\ x-z \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた線形写像の像空間と核空間を求めることです。

(1) $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$, $f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ x \\ x-y \end{pmatrix}$

(2) $f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3$, $f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z+w \\ x+w \\ x-z \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、線形写像 $f$ の表現行列を求めます。

$f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ x \\ x-y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

よって、$f$ の表現行列 $A$ は、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ となります。

像空間 $Im(f)$ は、表現行列 $A$ の列ベクトルによって張られる空間です。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ は線形独立なので、$Im(f) = span\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$

核空間 $Ker(f)$ は、$f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 全体の集合です。

$\begin{pmatrix} x+y \\ x \\ x-y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より、$x+y=0, x=0, x-y=0$ となります。

$x=0$ を代入すると、$y=0$ となります。よって、$Ker(f) = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

(2)

線形写像 $f$ の表現行列を求めます。

$f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z+w \\ x+w \\ x-z \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

よって、$f$ の表現行列 $A$ は、$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ となります。

像空間 $Im(f)$ は、表現行列 $A$ の列ベクトルによって張られる空間です。

$A$ の列ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ で張られる空間です。

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は線形独立なので、$Im(f) = span\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} = \mathbb{R}^3$

核空間 $Ker(f)$ は、$f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}$ 全体の集合です。

$\begin{pmatrix} z+w \\ x+w \\ x-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より、$z+w=0, x+w=0, x-z=0$ となります。

$w=-z, x=-w$ より、$x=z$ となります。

よって、$Ker(f) = \left\{ \begin{pmatrix} z \\ y \\ z \\ -z \end{pmatrix} \mid y, z \in \mathbb{R} \right\} = span\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$

3. 最終的な答え

(1)

像空間: $Im(f) = span\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$

核空間: $Ker(f) = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

(2)

像空間: $Im(f) = \mathbb{R}^3$

核空間: $Ker(f) = span\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$