線形写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ x \\ x-y \end{pmatrix}$ の像空間と核空間を求める。

1. 問題の内容

線形写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ x \\ x-y \end{pmatrix}$ の像空間と核空間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 像空間を求める。

像空間は、$f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ で表されるベクトルの全体である。これは、$x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$と表せるので、像空間は$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$によって張られる。

これらのベクトルは線形独立であるので、像空間は2次元の部分空間である。

像空間は、$\mathbb{R}^3$の部分空間で、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$を基底とする。

(2) 核空間を求める。

核空間は、$f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$となるような$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$の全体である。

すなわち、$x+y=0$, $x=0$, $x-y=0$を満たす$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$を求める。

$x=0$なので、$y=0$となる。

したがって、核空間は$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$のみからなる。

3. 最終的な答え

像空間: $\mathrm{Im}(f) = \mathrm{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$

核空間: $\mathrm{Ker}(f) = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$