$x = \frac{3 + \sqrt{3}i}{2}$ のとき、$x^4 - 4x^2 + 6x - 2$ の値を求めよ。

以下に、画像の問題(2)の解答を示します。

1. 問題の内容

$x = \frac{3 + \sqrt{3}i}{2}$ のとき、$x^4 - 4x^2 + 6x - 2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = \frac{3 + \sqrt{3}i}{2}$ を変形して、$x$ の満たすべき二次方程式を導く。

まず、両辺を2倍すると、

$2x = 3 + \sqrt{3}i$

次に、3を左辺に移項すると、

$2x - 3 = \sqrt{3}i$

両辺を2乗すると、

$(2x - 3)^2 = (\sqrt{3}i)^2$

$4x^2 - 12x + 9 = -3$

$4x^2 - 12x + 12 = 0$

両辺を4で割ると、

$x^2 - 3x + 3 = 0$

よって、$x^2 = 3x - 3$ である。

次に、$x^4 - 4x^2 + 6x - 2$ を $x^2 - 3x + 3$ で割ることを考える。

しかし、今回は$x^4 - 4x^2 + 6x - 2$を直接変形して計算する。

$x^4 - 4x^2 + 6x - 2 = (x^2)^2 - 4x^2 + 6x - 2$

ここで、$x^2 = 3x - 3$ を代入すると、

$x^4 - 4x^2 + 6x - 2 = (3x - 3)^2 - 4(3x - 3) + 6x - 2$

$= (9x^2 - 18x + 9) - (12x - 12) + 6x - 2$

$= 9x^2 - 18x + 9 - 12x + 12 + 6x - 2$

$= 9x^2 - 24x + 19$

再び、$x^2 = 3x - 3$ を代入すると、

$9x^2 - 24x + 19 = 9(3x - 3) - 24x + 19$

$= 27x - 27 - 24x + 19$

$= 3x - 8$

最後に、$x = \frac{3 + \sqrt{3}i}{2}$ を代入すると、

$3x - 8 = 3(\frac{3 + \sqrt{3}i}{2}) - 8$

$= \frac{9 + 3\sqrt{3}i}{2} - \frac{16}{2}$

$= \frac{-7 + 3\sqrt{3}i}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{-7 + 3\sqrt{3}i}{2}$