2次関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - 4a + 10$ （$a$ は定数）について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の最大値を $a$ を用いて表します。 (2) $0 \le x \le 2$ において、$f(x)$ は $x = 2$ で最小値をとり、最大値は $\frac{17}{2}$ であるとき、$a$ の値を求めます。 (3) $a = \frac{1}{2}$ とします。$-t \le x \le 2t$ における $f(x)$ の最小値が $-4$ であるような定数 $t$ の値を求めます。ただし、$t > 0$ とします。

はい、承知しました。問題文と解答の形式を確認しました。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - 4a + 10$ （$a$ は定数）について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の最大値を $a$ を用いて表します。

(2) $0 \le x \le 2$ において、$f(x)$ は $x = 2$ で最小値をとり、最大値は $\frac{17}{2}$ であるとき、$a$ の値を求めます。

(3) $a = \frac{1}{2}$ とします。$-t \le x \le 2t$ における $f(x)$ の最小値が $-4$ であるような定数 $t$ の値を求めます。ただし、$t > 0$ とします。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -2x^2 + 4ax - 4a + 10$

$f(x) = -2(x^2 - 2ax) - 4a + 10$

$f(x) = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 4a + 10$

$f(x) = -2((x - a)^2 - a^2) - 4a + 10$

$f(x) = -2(x - a)^2 + 2a^2 - 4a + 10$

よって、最大値は $2a^2 - 4a + 10$ です。

(2) $f(x)$ は $x = a$ で最大値を取ります。区間 $0 \le x \le 2$ において、$x=2$ で最小値を取るということは、軸 $x=a$ が $a \le 2$ を満たす必要があります。

$f(2) = -2(2)^2 + 4a(2) - 4a + 10 = -8 + 8a - 4a + 10 = 4a + 2$

$f(x)$ の最大値は $\frac{17}{2}$ なので、$2a^2 - 4a + 10 = \frac{17}{2}$。

$4a^2 - 8a + 20 = 17$

$4a^2 - 8a + 3 = 0$

$(2a - 1)(2a - 3) = 0$

$a = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

条件 $a \le 2$ を満たしています。

$x = 2$ で最小値を取るので、$a \ge 2$とはならないことに注意が必要です。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、$f(2) = 4(\frac{1}{2}) + 2 = 2 + 2 = 4$

$a = \frac{3}{2}$ のとき、$f(2) = 4(\frac{3}{2}) + 2 = 6 + 2 = 8$

$0 \le x \le 2$ で $x=2$ の時最小値を取るという条件から、$f(2)<f(1/2)$

$f(2)<17/2$

また、$x=a$で最大値を取ることを考えると、$0<a<2$でなければならない。

$a = \frac{1}{2}$ の時、$f(2)=4$, $f(\frac{1}{2})=\frac{17}{2}$

$a = \frac{3}{2}$ の時、$f(2)=8$, $f(\frac{3}{2})=\frac{17}{2}$

従って、$a = \frac{1}{2}$

(3) $a = \frac{1}{2}$ のとき、$f(x) = -2x^2 + 2x - 2 + 10 = -2x^2 + 2x + 8 = -2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 8 = -2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{17}{2}$

軸は $x = \frac{1}{2}$

$-t \le x \le 2t$ における最小値が $-4$ となる条件を考えます。

$t > 0$ なので、軸が区間内にある場合とない場合を考えます。

(i) $\frac{1}{2} \in [-t, 2t]$ つまり $t \ge \frac{1}{4}$ の場合

$f(\frac{1}{2}) = \frac{17}{2} > -4$ なので、区間の端で最小値を取ります。

$f(-t) = -2(-t)^2 + 2(-t) + 8 = -2t^2 - 2t + 8 = -4$

$2t^2 + 2t - 12 = 0$

$t^2 + t - 6 = 0$

$(t + 3)(t - 2) = 0$

$t = -3, 2$

$t > 0$ より $t = 2$

$-t \le x \le 2t$ の範囲を確認します。$-2 \le x \le 4$

$\frac{1}{4} \le t$ も満たします。

(ii) 軸が区間内にない場合

$-t \le x \le 2t$

$f(x) = -4$ となる $x$ が区間内に存在する必要があります。

$f(x) = -2x^2 + 2x + 8 = -4$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

軸が区間内にないということなので、$x=3$ が区間 $-t \le x \le 2t$ の端に位置する必要があります。

$-t \le x \le 2t$

$2t < 1/2$であれば良い．．．

結論$f(2t)=-4$または$f(-t)=-4$となる$t>0$を求める。

$f(2t)=-2(2t)^2+2(2t)+8=-8t^2+4t+8=-4$

$8t^2-4t-12=0$

$2t^2-t-3=0$

$(2t-3)(t+1)=0$

$t=\frac{3}{2}$

この時、$-\frac{3}{2} \le x \le 3$

最小値はx=3で-4となる。軸はx=1/2なので条件を満たす。

$f(-t)=-2(-t)^2+2(-t)+8=-2t^2-2t+8=-4$

$2t^2+2t-12=0$

$t^2+t-6=0$

$(t+3)(t-2)=0$

$t=2$

$t=3/2$のとき

$f(\frac{1}{2})= \frac{17}{2}$より条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $2a^2 - 4a + 10$

(2) $a = \frac{1}{2}$

(3) $t = \frac{3}{2}$