成分が全て実数である $(m, n)$ 行列 $A$ に対して、$\text{rank}({}^t A A) = \text{rank}(A)$ であることを示す問題です。

1. 問題の内容

成分が全て実数である $(m, n)$ 行列 $A$ に対して、$\text{rank}({}^t A A) = \text{rank}(A)$ であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の列ベクトルを $a_1, a_2, ..., a_n$ とします。つまり、$A = [a_1, a_2, ..., a_n]$ です。

次に、$\text{rank}({}^t A A) = \text{rank}(A)$ を示すために、${}^t A A x = 0$ と $A x = 0$ の解空間が等しいことを示します。解空間が等しければ、$\text{null}({}^t A A) = \text{null}(A)$ となり、次元定理から $\text{rank}({}^t A A) = \text{rank}(A)$ が導かれます。

(i) $Ax = 0$ ならば ${}^t A A x = 0$ であることを示す：

$Ax = 0$ のとき、両辺に ${}^t A$ を左からかけると、${}^t A (Ax) = {}^t A \cdot 0 = 0$ となり、${}^t A A x = 0$ が成り立ちます。

(ii) ${}^t A A x = 0$ ならば $Ax = 0$ であることを示す：

${}^t A A x = 0$ のとき、両辺に左から ${}^t x$ をかけると、${}^t x {}^t A A x = 0$ となります。これは $({}^t x {}^t A) (Ax) = 0$ と書き換えられ、${}^t (Ax) (Ax) = 0$ となります。ここで、${}^t (Ax) (Ax) = ||Ax||^2$ であり、$||Ax||^2$ は $Ax$ の各成分の二乗和です。したがって、$||Ax||^2 = 0$ ならば、$Ax = 0$ が成り立ちます。

(i) と (ii) より、${}^t A A x = 0$ と $Ax = 0$ の解空間は等しいことが示されました。したがって、$\text{null}({}^t A A) = \text{null}(A)$ です。

次元定理より、

$\text{rank}(A) + \text{null}(A) = n$

$\text{rank}({}^t A A) + \text{null}({}^t A A) = n$

であるので、$\text{rank}(A) = \text{rank}({}^t A A)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\text{rank}({}^t A A) = \text{rank}(A)$