与えられた2つの数式について、それぞれの $x$ の値を求めます。 (2) $\sqrt{2}x^2 - 5x + 2\sqrt{2} = 0$ (4) $x^2 + x + |x - 1| = 5$

代数学二次方程式因数分解絶対値方程式の解
2025/8/4
## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた2つの数式について、それぞれの xx の値を求めます。
(2) 2x25x+22=0\sqrt{2}x^2 - 5x + 2\sqrt{2} = 0
(4) x2+x+x1=5x^2 + x + |x - 1| = 5

2. 解き方の手順

**(2) 2x25x+22=0\sqrt{2}x^2 - 5x + 2\sqrt{2} = 0**
この二次方程式を解くために、因数分解を試みます。
2x25x+22=0\sqrt{2}x^2 - 5x + 2\sqrt{2} = 0
2x2x4x+22=0\sqrt{2}x^2 - x - 4x + 2\sqrt{2} = 0
x(2x1)22(2x1)=0x(\sqrt{2}x - 1) - 2\sqrt{2}(\sqrt{2}x - 1) = 0
(2x1)(x22)=0(\sqrt{2}x - 1)(x - 2\sqrt{2}) = 0
したがって、x=12x = \frac{1}{\sqrt{2}} または x=22x = 2\sqrt{2}
x=22x = \frac{\sqrt{2}}{2}またはx=22x = 2\sqrt{2}
**(4) x2+x+x1=5x^2 + x + |x - 1| = 5**
絶対値記号があるので、場合分けをして考えます。
(i) x1x \ge 1 のとき、x1=x1|x - 1| = x - 1 なので、
x2+x+(x1)=5x^2 + x + (x - 1) = 5
x2+2x6=0x^2 + 2x - 6 = 0
解の公式より、
x=2±224(1)(6)2(1)=2±4+242=2±282=2±272=1±7x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}
x1x \ge 1を満たすのは、x=1+7x = -1 + \sqrt{7}
なぜなら、7>4=2\sqrt{7} > \sqrt{4} = 2なので、x=1+7>1+2=1x = -1 + \sqrt{7} > -1 + 2 = 1となるからです。
(ii) x<1x < 1 のとき、x1=(x1)=1x|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x なので、
x2+x+(1x)=5x^2 + x + (1 - x) = 5
x2+1=5x^2 + 1 = 5
x2=4x^2 = 4
x=±2x = \pm 2
x<1x < 1を満たすのは、x=2x = -2
したがって、x=1+7x = -1 + \sqrt{7} または x=2x = -2

3. 最終的な答え

(2) x=22,22x = \frac{\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2}
(4) x=2,1+7x = -2, -1+\sqrt{7}

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