(2) 2次方程式 $x^2 + ax - 3 = 0$ ($a \geq 0$) の一つの解が $1-2a$ であるとき、$a$ の値を求める。 (3) 2つの2次方程式 $x^2 - 3x - 28 = 0$ と $x^2 + ax - 14 = 0$ が共通の解を一つ持つように、整数 $a$ を求める。

1. 問題の内容

(2) 2次方程式 $x^2 + ax - 3 = 0$ ($a \geq 0$) の一つの解が $1-2a$ であるとき、$a$ の値を求める。

(3) 2つの2次方程式 $x^2 - 3x - 28 = 0$ と $x^2 + ax - 14 = 0$ が共通の解を一つ持つように、整数 $a$ を求める。

2. 解き方の手順

(2)

$x = 1 - 2a$ が $x^2 + ax - 3 = 0$ の解であるから、これを代入して $a$ について解く。

$(1 - 2a)^2 + a(1 - 2a) - 3 = 0$

$1 - 4a + 4a^2 + a - 2a^2 - 3 = 0$

$2a^2 - 3a - 2 = 0$

$(2a + 1)(a - 2) = 0$

$a = -\frac{1}{2}$ または $a = 2$

$a \geq 0$ であるから $a = 2$

(3)

$x^2 - 3x - 28 = 0$ を解く。

$(x - 7)(x + 4) = 0$

$x = 7$ または $x = -4$

$x^2 + ax - 14 = 0$ の解が $x = 7$ のとき、

$7^2 + 7a - 14 = 0$

$49 + 7a - 14 = 0$

$7a = -35$

$a = -5$

$x^2 + ax - 14 = 0$ の解が $x = -4$ のとき、

$(-4)^2 - 4a - 14 = 0$

$16 - 4a - 14 = 0$

$2 - 4a = 0$

$4a = 2$

$a = \frac{1}{2}$

$a$ は整数であるから、$a = -5$

3. 最終的な答え

(2) $a = 2$

(3) $a = -5$