与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 5 & 0 & 5 & -10 \\ -2 & 4 & 2 & -8 \\ 3 & 1 & -3 & 2 \\ 2 & -2 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

5 & 0 & 5 & -10 \\

-2 & 4 & 2 & -8 \\

3 & 1 & -3 & 2 \\

2 & -2 & 1 & -4

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行または列に関する操作を行って、行列をより単純な形に変形することができます。ここでは、まず1行目を基準にして、他の行を操作することで計算を簡略化することを試みます。

まず1行目を5で割ります。detは1/5倍されます。

$\begin{vmatrix}

1 & 0 & 1 & -2 \\

-2 & 4 & 2 & -8 \\

3 & 1 & -3 & 2 \\

2 & -2 & 1 & -4

\end{vmatrix}$ * 5

次に、以下の行基本変形を行います。

* 2行目に $2 \times$ 1行目を加える ($R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$)

* 3行目から $3 \times$ 1行目を引く ($R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$)

* 4行目から $2 \times$ 1行目を引く ($R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$)

これにより、行列は次のようになります。

$\begin{vmatrix}

1 & 0 & 1 & -2 \\

0 & 4 & 4 & -12 \\

0 & 1 & -6 & 8 \\

0 & -2 & -1 & 0

\end{vmatrix}$ * 5

次に、1列目で余因子展開を行うと、以下の3x3行列の行列式を計算する問題になります。

$5 \times \begin{vmatrix}

4 & 4 & -12 \\

1 & -6 & 8 \\

-2 & -1 & 0

\end{vmatrix}$

さらに、この3x3行列の行列式を計算します。

$= 5 \times [4((-6)(0) - (8)(-1)) - 4((1)(0) - (8)(-2)) + (-12)((1)(-1) - (-6)(-2))]$

$= 5 \times [4(0 + 8) - 4(0 + 16) - 12(-1 - 12)]$

$= 5 \times [32 - 64 - 12(-13)]$

$= 5 \times [32 - 64 + 156]$

$= 5 \times [124]$

$= 620$

3. 最終的な答え

620