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与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 5 & 0 & 5 & -10 \\ -2 & 4 & 2 & -8 \\ 3 & 1 & -3 & 2 \\ 2 & -2 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

代数学行列式線形代数行列
2025/8/4

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。
$\begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
-2 & 4 & 2 & -8 \\
3 & 1 & -3 & 2 \\
2 & -2 & 1 & -4
\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行基本変形を用いて行列を簡略化します。
ステップ1: 1行目を-1倍して3行目に加える。
R3→R3−(−1)R1R_3 \rightarrow R_3 - (-1)R_1
$\begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
-2 & 4 & 2 & -8 \\
3 & 1 & -3 & 2 \\
2 & -2 & 1 & -4
\end{vmatrix}−> -> \begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
-2 & 4 & 2 & -8 \\
8 & 1 & 2 & -8 \\
2 & -2 & 1 & -4
\end{vmatrix}$
ステップ2: 1行目を-1倍して3行目に加える。
R3→R3−R1R_3 \rightarrow R_3 - R_1
$\begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
-2 & 4 & 2 & -8 \\
3-5 & 1-0 & -3-5 & 2-(-10) \\
2 & -2 & 1 & -4
\end{vmatrix}−> -> \begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
-2 & 4 & 2 & -8 \\
-2 & 1 & -8 & 12 \\
2 & -2 & 1 & -4
\end{vmatrix}$
ステップ3: 1行目を-2/5倍して2行目に足す。
R2→R2+25R1R_2 \rightarrow R_2 + \frac{2}{5}R_1
$\begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
-2 + \frac{2}{5}(5) & 4 + \frac{2}{5}(0) & 2 + \frac{2}{5}(5) & -8 + \frac{2}{5}(-10) \\
3 & 1 & -3 & 2 \\
2 & -2 & 1 & -4
\end{vmatrix}−> -> \begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
0 & 4 & 4 & -12 \\
3 & 1 & -3 & 2 \\
2 & -2 & 1 & -4
\end{vmatrix}$
ステップ4: 1行目を-3/5倍して3行目に足す。
R3→R3+(−35)R1R_3 \rightarrow R_3 + (-\frac{3}{5})R_1
$\begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
0 & 4 & 4 & -12 \\
3-\frac{3}{5}(5) & 1 - \frac{3}{5}(0) & -3-\frac{3}{5}(5) & 2 - \frac{3}{5}(-10) \\
2 & -2 & 1 & -4
\end{vmatrix}−> -> \begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
0 & 4 & 4 & -12 \\
0 & 1 & -6 & 8 \\
2 & -2 & 1 & -4
\end{vmatrix}$
ステップ5: 1行目を-2/5倍して4行目に足す。
R4→R4+(−25)R1R_4 \rightarrow R_4 + (-\frac{2}{5})R_1
$\begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
0 & 4 & 4 & -12 \\
0 & 1 & -6 & 8 \\
2 - \frac{2}{5}(5) & -2 - \frac{2}{5}(0) & 1 - \frac{2}{5}(5) & -4 - \frac{2}{5}(-10)
\end{vmatrix}−> -> \begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
0 & 4 & 4 & -12 \\
0 & 1 & -6 & 8 \\
0 & -2 & -1 & 0
\end{vmatrix}$
ステップ6: 2行目の-1/4倍を3行目に足す
R3→R3+(−14)R2R_3 \rightarrow R_3 + (-\frac{1}{4})R_2
$\begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
0 & 4 & 4 & -12 \\
0 & 1-\frac{1}{4}(4) & -6 - \frac{1}{4}(4) & 8 - \frac{1}{4}(-12) \\
0 & -2 & -1 & 0
\end{vmatrix}−> -> \begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
0 & 4 & 4 & -12 \\
0 & 0 & -7 & 11 \\
0 & -2 & -1 & 0
\end{vmatrix}$
ステップ7: 2行目の1/2倍を4行目に足す。
R4→R4+(12)R2R_4 \rightarrow R_4 + (\frac{1}{2})R_2
$\begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
0 & 4 & 4 & -12 \\
0 & 0 & -7 & 11 \\
0 & -2+\frac{1}{2}(4) & -1 + \frac{1}{2}(4) & 0 + \frac{1}{2}(-12)
\end{vmatrix}−> -> \begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
0 & 4 & 4 & -12 \\
0 & 0 & -7 & 11 \\
0 & 0 & 1 & -6
\end{vmatrix}$
ステップ8: 3行目の1/7倍を4行目に足す。
R4→R4+(17)R3R_4 \rightarrow R_4 + (\frac{1}{7})R_3
$\begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
0 & 4 & 4 & -12 \\
0 & 0 & -7 & 11 \\
0 & 0 & 1 + \frac{1}{7}(-7) & -6 + \frac{1}{7}(11)
\end{vmatrix}−> -> \begin{vmatrix}
5 & 0 & 5 & -10 \\
0 & 4 & 4 & -12 \\
0 & 0 & -7 & 11 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{31}{7}
\end{vmatrix}$
行列式は対角成分の積で計算できます。
5×4×(−7)×(−317)=20×31=6205 \times 4 \times (-7) \times (-\frac{31}{7}) = 20 \times 31 = 620

3. 最終的な答え

620

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