$n$次正方行列$A = (a_{ij})$が与えられています。この行列の対角成分は全て2($a_{ii} = 2$)で、対角成分のすぐ隣の成分は全て-1($a_{i,i+1} = a_{i+1,i} = -1$)であり、それ以外の成分は全て0です。この行列$A$の行列式$|A|$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$n$次正方行列$A = (a_{ij})$が与えられています。この行列の対角成分は全て2($a_{ii} = 2$)で、対角成分のすぐ隣の成分は全て-1($a_{i,i+1} = a_{i+1,i} = -1$)であり、それ以外の成分は全て0です。この行列$A$の行列式$|A|$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

行列式を$D_n$とします。行列$A$は以下のような形をしています。

$\begin{pmatrix}

2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\

-1 & 2 & -1 & \cdots & 0 \\

0 & -1 & 2 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & \cdots & 2

\end{pmatrix}$

行列式$D_n$を第1行で展開すると、次のようになります。

$D_n = 2D_{n-1} - (-1) \cdot (-1) D_{n-2} = 2D_{n-1} - D_{n-2}$

初期条件を計算します。

$n=1$のとき、$D_1 = 2$

$n=2$のとき、$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3$

漸化式$D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$を解きます。

特性方程式は$x^2 - 2x + 1 = 0$であり、$(x-1)^2 = 0$なので、$x=1$ (重解)です。

よって、$D_n = (an + b) \cdot 1^n = an + b$の形になります。

初期条件から、$D_1 = a + b = 2$、$D_2 = 2a + b = 3$

これを解くと、$a = 1$, $b = 1$となります。

したがって、$D_n = n + 1$となります。

3. 最終的な答え

$|A| = n+1$