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与えられた連立一次方程式の拡大係数行列を書き、行基本変形を用いて解を求め、解の自由度を求めます。連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} 2x_1 - x_2 + 4x_3 + 9x_4 = -8 \\ x_1 - x_2 + x_3 + 2x_4 = -2 \\ 4x_1 - 6x_2 + x_3 + x_4 = -1 \\ -2x_1 + x_2 - x_3 = 5 \end{cases} $

代数学連立一次方程式行列行基本変形線形代数解の自由度
2025/8/4

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の拡大係数行列を書き、行基本変形を用いて解を求め、解の自由度を求めます。連立一次方程式は以下の通りです。
$ \begin{cases}
2x_1 - x_2 + 4x_3 + 9x_4 = -8 \\
x_1 - x_2 + x_3 + 2x_4 = -2 \\
4x_1 - 6x_2 + x_3 + x_4 = -1 \\
-2x_1 + x_2 - x_3 = 5
\end{cases} $

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を作成する。
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 4 & 9 & | & -8 \\
1 & -1 & 1 & 2 & | & -2 \\
4 & -6 & 1 & 1 & | & -1 \\
-2 & 1 & -1 & 0 & | & 5
\end{bmatrix}
(2) 行基本変形を行う。まず、1行目と2行目を入れ替える。
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & 2 & | & -2 \\
2 & -1 & 4 & 9 & | & -8 \\
4 & -6 & 1 & 1 & | & -1 \\
-2 & 1 & -1 & 0 & | & 5
\end{bmatrix}
(3) 2行目から1行目の2倍を引く、3行目から1行目の4倍を引く、4行目に1行目の2倍を足す。
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & 2 & | & -2 \\
0 & 1 & 2 & 5 & | & -4 \\
0 & -2 & -3 & -7 & | & 7 \\
0 & -1 & 1 & 4 & | & 1
\end{bmatrix}
(4) 3行目に2行目の2倍を足す、4行目に2行目を足す。
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & 2 & | & -2 \\
0 & 1 & 2 & 5 & | & -4 \\
0 & 0 & 1 & 3 & | & -1 \\
0 & 0 & 3 & 9 & | & -3
\end{bmatrix}
(5) 4行目から3行目の3倍を引く。
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & 2 & | & -2 \\
0 & 1 & 2 & 5 & | & -4 \\
0 & 0 & 1 & 3 & | & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}
(6) 1行目に2行目を足す。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & 7 & | & -6 \\
0 & 1 & 2 & 5 & | & -4 \\
0 & 0 & 1 & 3 & | & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}
(7) 1行目から3行目の3倍を引く、2行目から3行目の2倍を引く。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -2 & | & -3 \\
0 & 1 & 0 & -1 & | & -2 \\
0 & 0 & 1 & 3 & | & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}
(8) 解を求める。
x1−2x4=−3x_1 - 2x_4 = -3
x2−x4=−2x_2 - x_4 = -2
x3+3x4=−1x_3 + 3x_4 = -1
x4x_4 は自由変数なので、x4=tx_4 = t とおく。
x1=2t−3x_1 = 2t - 3
x2=t−2x_2 = t - 2
x3=−3t−1x_3 = -3t - 1

3. 最終的な答え

解は、$
\begin{cases}
x_1 = 2t - 3 \\
x_2 = t - 2 \\
x_3 = -3t - 1 \\
x_4 = t
\end{cases}
$ (tは任意の実数)
解の自由度は1です。

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