$f(x) = x^2 + ax - 2a + 6$ の $x \geq 0$ における最小値を求める問題です。最小値は $a$ の値によって場合分けされます。さらに、$f(x)$ の $x \geq 0$ における最小値が1となるときの $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 + ax - 2a + 6$ の $x \geq 0$ における最小値を求める問題です。最小値は $a$ の値によって場合分けされます。さらに、$f(x)$ の $x \geq 0$ における最小値が1となるときの $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 + ax - 2a + 6 = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} - 2a + 6$

軸は $x = -\frac{a}{2}$ です。

(i) $-\frac{a}{2} \geq 0$、つまり $a \leq 0$ のとき、 $x \geq 0$ で $f(x)$ は増加関数なので、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $f(0) = -2a + 6$ です。

(ii) $-\frac{a}{2} < 0$、つまり $a > 0$ のとき、$x = -\frac{a}{2}$ で最小値をとります。

最小値は $f(-\frac{a}{2}) = - \frac{a^2}{4} - 2a + 6$ です。

次に、$f(x)$ の最小値が1となるときの $a$ の値を求めます。

(i) $a \leq 0$ のとき、$-2a + 6 = 1$ より、$2a = 5$ なので $a = \frac{5}{2}$ です。しかし、$a \leq 0$ なので、これは不適です。

(ii) $a > 0$ のとき、$-\frac{a^2}{4} - 2a + 6 = 1$ より、$a^2 + 8a - 20 = 0$ となります。

$(a + 10)(a - 2) = 0$ より、$a = -10, 2$ です。$a > 0$ なので、$a = 2$ です。

よって、

ア：0

イ：4

ウ：2

エ：$\frac{a^2}{4}$

ク：2

ケ：1

3. 最終的な答え

$a \leq 0$ のとき、最小値は$-2a + 6$。

$a \geq 0$ のとき、最小値は$-\frac{a^2}{4} - 2a + 6$。

$a=\frac{2}{1}$