$a$ を正の定数とし、$f(x) = x^2 + 2(a-3)x - a^2 + 3a + 5$ とする。 2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の $x$ 座標を $p$ とするとき、$p$ を $a$ で表す。 $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(1)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 $1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $0$ であるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とし、$f(x) = x^2 + 2(a-3)x - a^2 + 3a + 5$ とする。

2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の $x$ 座標を $p$ とするとき、$p$ を $a$ で表す。

$1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(1)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

$1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

$1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $0$ であるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 + 2(a-3)x - a^2 + 3a + 5$

$f(x) = (x + (a-3))^2 - (a-3)^2 - a^2 + 3a + 5$

$f(x) = (x + a - 3)^2 - (a^2 - 6a + 9) - a^2 + 3a + 5$

$f(x) = (x + a - 3)^2 - 2a^2 + 9a - 4$

したがって、頂点の $x$ 座標 $p$ は $p = -a + 3$ となる。これがアの答え。

$1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(1)$ となるのは、頂点の $x$ 座標 $p$ が区間 $1 \le x \le 5$ の外側、つまり $p \ge 5$ のときである。

$-a + 3 \ge 5$

$-a \ge 2$

$a \le -2$

しかし、$a$ は正の定数であるから、これはありえない。

$1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(1)$ となるのは、軸が $x=1$よりも左にあるとき、つまり $p \le 1$のときである。

$-a+3 \le 1$

$-a \le -2$

$a \ge 2$

これがイの答え。

$1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるのは、頂点の $x$ 座標 $p$ が区間 $1 \le x \le 5$ の内側、つまり $1 \le p \le 5$ のときである。

$1 \le -a + 3 \le 5$

$-2 \le -a \le 2$

$-2 \le a \le 2$

$1 \le -a+3$より、$a \le 2$

$-a+3 \le 5$より、$a \ge -2$

また、$a$ は正の定数なので、$0 < a \le 2$.

よってウの答えは2。

$1 \le x \le 5$ における関数 $y=f(x)$ の最小値が $0$ であるとき、頂点の $y$ 座標が $0$ であるか、$f(1) = 0$または$f(5)=0$である。

頂点の $y$ 座標が $0$ であるとき、 $-2a^2 + 9a - 4 = 0$

$2a^2 - 9a + 4 = 0$

$(2a-1)(a-4) = 0$

$a = \frac{1}{2}, 4$

$f(1) = 1 + 2(a-3) - a^2 + 3a + 5 = -a^2 + 5a = 0$

$a(-a + 5) = 0$

$a = 0, 5$ ($a$ は正なので、$a = 5$)

$f(5) = 25 + 10(a-3) - a^2 + 3a + 5 = -a^2 + 13a = 0$

$a(-a+13) = 0$

$a = 0, 13$ ($a$ は正なので、$a=13$)

$1 \le p \le 5$ つまり、$1 \le -a+3 \le 5$のとき、$a = \frac{1}{2}$となる。

$a=4$のとき、$p=-4+3=-1$となり、$p<1$である。したがって、$f(1) = 0$となる必要がある。

$a=5$の場合、$p=-2$であるので、$p < 1$である。

$f(1) = -25 + 25 = 0$となり、最小値は$0$

$a=\frac{1}{2}$の場合、$p=\frac{5}{2}$となるので、$1 \le p \le 5$である。

したがって、最小値は$-2(\frac{1}{4}) + 9(\frac{1}{2}) - 4 = -\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 4 = 4-4 = 0$

よって、$a = \frac{1}{2}$または$5$. エは1/2、オは5,カは2。

3. 最終的な答え

ア：3

イ：2

ウ：2

エ：1/2

オ：5

カ：2