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$x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$、$y = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めます。

代数学式の計算因数分解平方根
2025/8/4

1. 問題の内容

x=5+3x = \sqrt{5} + \sqrt{3}、y=5−3y = \sqrt{5} - \sqrt{3} のとき、x2−y2x^2 - y^2 の値を求めます。

2. 解き方の手順

x2−y2x^2 - y^2 を因数分解すると、(x+y)(x−y)(x+y)(x-y) となります。
xx と yy の値を代入して x+yx+y と x−yx-y を計算します。
x+y=(5+3)+(5−3)=25x+y = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{5}
x−y=(5+3)−(5−3)=23x-y = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}
これらを (x+y)(x−y)(x+y)(x-y) に代入します。
(x+y)(x−y)=(25)(23)=415(x+y)(x-y) = (2\sqrt{5})(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{15}

3. 最終的な答え

4154\sqrt{15}

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