Aさんは家から2400m離れた図書館へ行く途中で文具店に立ち寄った。グラフは、Aさんが出発してからの時間 $x$ 分後の家からの距離 $y$ mを表している。 (1) 文具店に立ち寄るまでのAさんの速さを求める。 (2) $30 \leq x \leq 42$ のとき、$y$ を $x$ の式で表す。 (3) Aさんの兄が、Aさんが出発してから20分後に図書館を出発し、分速60mで家に向かったとき、2人が出会うのはAさんが出発してから何分何秒後か求める。

1. 問題の内容

Aさんは家から2400m離れた図書館へ行く途中で文具店に立ち寄った。グラフは、Aさんが出発してからの時間 $x$ 分後の家からの距離 $y$ mを表している。

(1) 文具店に立ち寄るまでのAさんの速さを求める。

(2) $30 \leq x \leq 42$ のとき、$y$ を $x$ の式で表す。

(3) Aさんの兄が、Aさんが出発してから20分後に図書館を出発し、分速60mで家に向かったとき、2人が出会うのはAさんが出発してから何分何秒後か求める。

2. 解き方の手順

(1) Aさんが文具店に立ち寄るまでの時間は20分で、その距離は1200mである。速さは距離を時間で割れば求まる。

$\text{速さ} = \frac{\text{距離}}{\text{時間}}$

$\text{速さ} = \frac{1200}{20} = 60$

(2) $30 \leq x \leq 42$ の範囲では、$y$ は $x$ の一次関数となる。グラフから2点$(30, 1200)$と$(42, 2400)$を通ることがわかる。

傾き $a$ は、

$a = \frac{2400 - 1200}{42 - 30} = \frac{1200}{12} = 100$

よって、$y = 100x + b$ と表せる。点$(30, 1200)$を代入すると、

$1200 = 100 \times 30 + b$

$1200 = 3000 + b$

$b = -1800$

したがって、$y = 100x - 1800$

(3) Aさんの兄が出発する時間は、Aさんが出発してから20分後である。兄の速さは分速60mである。

兄の進む距離を $y_{\text{兄}}$、Aさんの進む距離を $y_{\text{A}}$ とする。

Aさんが出発してからの時間を $x$ 分とする。

兄が出発してからの時間は $x - 20$ 分なので、

$y_{\text{兄}} = 2400 - 60(x - 20) = 2400 - 60x + 1200 = 3600 - 60x$

Aさんの進む距離は、$y_{\text{A}} = 100x - 1800$

2人が出会うとき、$y_{\text{兄}} = y_{\text{A}}$となる。

$3600 - 60x = 100x - 1800$

$5400 = 160x$

$x = \frac{5400}{160} = \frac{540}{16} = \frac{270}{8} = \frac{135}{4} = 33.75$

$0.75$分は、$0.75 \times 60 = 45$ 秒なので、33分45秒後となる。

3. 最終的な答え

(1) 分速60m

(2) $y = 100x - 1800$

(3) 33分45秒後