与えられた4つの不等式をそれぞれ証明し、等号が成り立つ場合を調べる。 (1) $x^2 + y^2 \geq 2(x+y-1)$ (2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \geq 0$ (3) $\frac{a^2+b^2}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^2$ (4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2 \quad (a \neq 0)$

1. 問題の内容

与えられた4つの不等式をそれぞれ証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

(1) $x^2 + y^2 \geq 2(x+y-1)$

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \geq 0$

(3) $\frac{a^2+b^2}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^2$

(4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2 \quad (a \neq 0)$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 \geq 2(x+y-1)$ の証明

まず、不等式の右辺を左辺に移項する。

$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 \geq 0$

次に、左辺を平方完成する。

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) \geq 0$

$(x-1)^2 + (y-1)^2 \geq 0$

実数の2乗は常に0以上なので、この不等式は常に成立する。

等号が成り立つのは、$x-1 = 0$ かつ $y-1 = 0$ のとき、つまり $x = 1$ かつ $y = 1$ のときである。

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \geq 0$ の証明

左辺を平方完成する。

$x^2 + 2xy + y^2 + y^2 \geq 0$

$(x+y)^2 + y^2 \geq 0$

実数の2乗は常に0以上なので、この不等式は常に成立する。

等号が成り立つのは、$x+y = 0$ かつ $y = 0$ のとき、つまり $x = 0$ かつ $y = 0$ のときである。

(3) $\frac{a^2+b^2}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^2$ の証明

まず、不等式の右辺を展開する。

$(\frac{a+b}{2})^2 = \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}$

次に、不等式の両辺に4をかける。

$2(a^2+b^2) \geq a^2 + 2ab + b^2$

$2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2$

不等式の右辺を左辺に移項する。

$2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \geq 0$

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

$(a-b)^2 \geq 0$

実数の2乗は常に0以上なので、この不等式は常に成立する。

等号が成り立つのは、$a-b = 0$ のとき、つまり $a = b$ のときである。

(4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2 \quad (a \neq 0)$ の証明

まず、不等式の左辺から右辺を引く。

$a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \geq 0$

次に、左辺を整理する。

$\frac{a^4 - 2a^2 + 1}{a^2} \geq 0$

$\frac{(a^2 - 1)^2}{a^2} \geq 0$

$a \neq 0$ より、$a^2 > 0$ であり、$(a^2 - 1)^2 \geq 0$ であるから、この不等式は常に成立する。

等号が成り立つのは、$a^2 - 1 = 0$ のとき、つまり $a^2 = 1$、つまり $a = 1$ または $a = -1$ のときである。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 \geq 2(x+y-1)$ は $x=1$ かつ $y=1$ のとき等号が成立する。

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \geq 0$ は $x=0$ かつ $y=0$ のとき等号が成立する。

(3) $\frac{a^2+b^2}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^2$ は $a=b$ のとき等号が成立する。

(4) $a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2 \quad (a \neq 0)$ は $a=1$ または $a=-1$ のとき等号が成立する。