## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

画像にある数学の問題のうち、問題[3],[7],[8]を解きます。

* **問題[3]**: 2つの行列の行列式を計算する。

* **問題[7]**: 2つのベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求める。

* **問題[8]**: 2つのベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$の外積$\vec{a} \times \vec{b}$を計算する。

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2. 解き方の手順

**問題[3]**:

最初の行列式は

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & 7 \end{vmatrix}$

2行目は1行目の定数倍ではないので、2行目から1行目の2倍を引きます。

同様に、3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) \cdot (-2) = 2$

2番目の行列式は

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 7 & 5 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

2列目で展開して、

$1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 + 0 -0$

3行目から1行目を引くと

$\begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 7 & 4 & 2 \\ -4 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

1列目で展開して、

$5 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - 7 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} -4 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}$

$= 5(-4 + 2) - 7(-3+2) - 4(6-8)$

$= -10 + 7 + 8 = 5$

**問題[7]**:

2つのベクトルのなす角$\theta$は、内積を用いて求めることができます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$

$\vec{a} = (4, -1, -1)$

$\vec{b} = (2, -2, 1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(2) + (-1)(-2) + (-1)(1) = 8 + 2 - 1 = 9$

$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{9}{3\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\theta = 45^\circ$

**問題[8]**:

2つのベクトルの外積は、次のように計算されます。

$\vec{a} = (3, 4, 2)$

$\vec{b} = (1, 1, 2)$

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (4 \cdot 2 - 2 \cdot 1)\vec{i} - (3 \cdot 2 - 2 \cdot 1)\vec{j} + (3 \cdot 1 - 4 \cdot 1)\vec{k}$

$= (8 - 2)\vec{i} - (6 - 2)\vec{j} + (3 - 4)\vec{k} = 6\vec{i} - 4\vec{j} - \vec{k}$

したがって、$\vec{a} \times \vec{b} = (6, -4, -1)$

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3. 最終的な答え

* 問題[3]：行列式はそれぞれ、2と5です。

* 問題[7]：$\theta = 45^\circ$

* 問題[8]：$\vec{a} \times \vec{b} = (6, -4, -1)$