画像に示された線形代数学の問題について、それぞれの問題に解答すること。各問題の解答は、問題文中の空欄（ア～モ、など）を埋める形で答える。

1. 問題の内容

画像に示された線形代数学の問題について、それぞれの問題に解答すること。各問題の解答は、問題文中の空欄（ア～モ、など）を埋める形で答える。

2. 解き方の手順

以下、個別の問題ごとに解き方と解答を示す。

[1]

$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ のとき、

$AB = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix}$

$BC = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 11 & 17 \end{pmatrix}$

$2BC = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 22 & 34 \end{pmatrix}$

$AB - 2BC = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 22 & 34 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -13 & -19 \end{pmatrix}$

$ABC = \begin{pmatrix} 1 & 11 \\ 9 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 15 \\ 33 & 51 \end{pmatrix}$

[2]

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -3 & -2 \\ -2 & 3 & 4 & -1 \\ 4 & -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式を計算する。

$|A| = 0$　（計算省略）

[3]

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & 7 \end{vmatrix} = 1(21 - 36) - 2(14 - 18) + 3(12 - 9) = -15 + 8 + 9 = 2$

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 7 & 5 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 * \begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 * \begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 7 & 5 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

$= (5(4-4) - 3(7-2) + 2(14-4)) - (5(10-0) - 4(14-4) + 3(0-5)) = (-15 + 20) - (50 - 40 - 15) = 5 - (-5) = 10$

[4]

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{6-4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

[5]

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

$|A| = 1(2+5) - 1(-4-0) - 5(2-0) = 7 + 4 - 10 = 1$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -3 & 0 \\ 4 & 2 & -5 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

[6]

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 & -2 \\ 18 & 8 & -1 & -13 \\ 13 & 2 & -13 & 1 \\ 10 & 4 & -5 & -9 \end{pmatrix}$ の階数（rank）を求める。

行基本変形を行うと、rank A = 3

[7]

$\vec{a} = (4, -1, -1), \vec{b} = (2, -2, 1)$ のなす角 $\theta$ を求める。

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{8 + 2 - 1}{\sqrt{16 + 1 + 1} \sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{9}{\sqrt{18} \sqrt{9}} = \frac{9}{3 \sqrt{18}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = 45^{\circ}$

[8]

$\vec{a} = (3, 4, 2), \vec{b} = (1, 1, 2)$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を求める。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 2 - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \end{pmatrix} = (6, -4, -1)$

[9]

$\vec{a} = (1, 1, 2), \vec{b} = (2, -1, 1), \vec{c} = (-1, 2, -1)$

$\vec{a} + \vec{b} = (3, 0, 3)$

$\vec{b} + \vec{c} = (1, 1, 0)$

$\vec{c} + \vec{a} = (0, 3, 1)$

$V = |(\vec{a} + \vec{b}) \cdot ((\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{c} + \vec{a}))| = |(3, 0, 3) \cdot ((1, 1, 0) \times (0, 3, 1))| = |(3, 0, 3) \cdot (1, -1, 3)| = |3 + 0 + 9| = 12$

[10]

$P'(-1, 3 \sqrt{3})$ は、点Pを原点の周りに $\frac{\pi}{3}$ 回転させたもの。逆回転を考えればよい。

$x = -1 \cos(-\frac{\pi}{3}) - 3 \sqrt{3} \sin(-\frac{\pi}{3}) = -1 (\frac{1}{2}) - 3 \sqrt{3} (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 4$

$y = -1 \sin(-\frac{\pi}{3}) + 3 \sqrt{3} \cos(-\frac{\pi}{3}) = -1 (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 3 \sqrt{3} (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$P(4, 2 \sqrt{3})$

[11]

$P(1, 2) \to P'(2, 4), Q(2, 1) \to Q'(7, 5)$

$A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}, A \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$とすると、

$a + 2b = 2, 2a + b = 7$

$3b = -3, b = -1, a = 4$

$c + 2d = 4, 2c + d = 5$

$3c = 6, c = 2, d = 1$

$A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

[12]

$A(2, 2, 0), B(2, -3, \sqrt{5}), C(1, -1, 0)$

$\vec{AB} = (0, -5, \sqrt{5}), \vec{AC} = (-1, -3, 0)$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 5*0 - \sqrt{5}*(-3) \\ \sqrt{5}*(-1) - 0*0 \\ 0*(-3) - (-5)*(-1) \end{pmatrix} = (3\sqrt{5}, -\sqrt{5}, -5)$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{45+5+25} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

[13]

A(3, 1, -2) を通り、$\frac{x-4}{3} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-6}{4}$ を含む平面の方程式

$\vec{d} = (3, -2, 4), \vec{AP} = (x-3, y-1, z+2)$

$\begin{vmatrix} x-3 & y-1 & z+2 \\ 3 & -2 & 4 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix}=0$　←法線ベクトルが求まらない

$\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix}$は直線上

$\vec{AP} = \begin{pmatrix} x-3 \\ y-1 \\ z+2 \end{pmatrix}$

$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} x-3 & y-1 & z+2 \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & 2 & 8 \end{vmatrix}=0$

$(x-3)(-16-8) - (y-1)(24-4) + (z+2)(6+2) = 0$

$-24(x-3) - 20(y-1) + 8(z+2) = 0$

$-24x + 72 - 20y + 20 + 8z + 16 = 0$

$-24x - 20y + 8z + 108 = 0$

$-6x - 5y + 2z + 27 = 0$

$6x+5y-2z-27 = 0$

[14]

$A(0, 1, 3)$ を通り、2直線 $l_1: \begin{cases} x=-1-2t \\ y=3+3t \\ z=1+t \end{cases}, l_2: \begin{cases} x=-1+s \\ y=3-s \\ z=1+2s \end{cases}$ に平行な平面の方程式

方向ベクトル $\vec{d_1} = (-2, 3, 1), \vec{d_2} = (1, -1, 2)$.

法線ベクトル $\vec{n} = \vec{d_1} \times \vec{d_2} = (7, 5, -1)$.

$7(x-0) + 5(y-1) - 1(z-3) = 0$

$7x + 5y - 5 - z + 3 = 0$

$7x + 5y - z - 2 = 0$

[15]

$l_1: \frac{x-2}{2} = \frac{y-a}{3} = \frac{z-3}{5}, l_2: \frac{x-2}{4} = \frac{y-1}{a} = \frac{z-4}{a+4}$

方向ベクトル $\vec{d_1} = (2, 3, 5), \vec{d_2} = (4, a, a+4)$

同一平面上にない条件は、2つの直線が平行でなく、かつ交点を持たないこと。

平行でない条件: $2/4 \ne 3/a \ne 5/(a+4)$

$a \ne 6, a \ne 10$

$\vec{P_1P_2} = (0, 1-a, 1)$

$\begin{vmatrix} 0 & 1-a & 1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & a & a+4 \end{vmatrix} \ne 0$

$0 - (1-a) (2(a+4) - 20) + 1 (2a-12) \ne 0$

$-(1-a)(2a-12) + 2a-12 \ne 0$

$(a-1)(2a-12) + 2a -12 \ne 0$

$2a^2-14a+12 + 2a-12 \ne 0$

$2a^2-12a \ne 0$

$2a(a-6) \ne 0$

$a \ne 0, 6$

$a \ne 6, 10, 0$

[16]

$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

固有方程式 $|A-\lambda I| = \begin{vmatrix} -1-\lambda & 2 \\ 2 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (-1-\lambda)(2-\lambda) - 4 = \lambda^2 - \lambda - 2 - 4 = \lambda^2 - \lambda - 6 = (\lambda-3)(\lambda+2) = 0$

$\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -2$

$\lambda_1 = 3$ のとき、$\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \vec{v_1} = 0, \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = -2$ のとき、$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \vec{v_2} = 0, \vec{v_2} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$P = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

[1] ア: 3, イ: 9, ウ: -13, エ: -19, オ: 13, カ: 15, キ: 33, ク: 51

[2] オ：0

[3] キ: 2, ク: 10

[4] ケ: 0, コ: 0, サ: 1, シ: 2

[5] サ: 7, シ: -3, ス: 4, セ: 2, ソ: -5, タ: 2, チ: 1, ツ: 3

[6] セ: 3

[7] ソ: 45

[8] タ: 6, チ: -4, ツ: -1

[9] テ: 12

[10] ト: 4, ナ: 2, 二: 3

[11] ヌ: 4, ネ: -1, ノ: 2, ハ: 1

[12] ヒ: 5, フ: 3

[13] ヘ: 6, ホ: 5, マ: -2, ミ: 27

[14] ホ: 7, マ: 5, ム: -1, メ: 2

[15] ム: 0, メ: 6

[16] モ: 1, ヤ: -2, ユ: 2, ヨ: 1