与えられた対称行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ を直交行列 $P$ で対角化して、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ が得られた。このとき、$P = \frac{1}{\sqrt{x}} \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & c \end{pmatrix}$ の $x, a, b, c$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

与えられた対称行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ を直交行列 $P$ で対角化して、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ が得られた。このとき、$P = \frac{1}{\sqrt{x}} \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & c \end{pmatrix}$ の $x, a, b, c$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求める。固有方程式は、

$\det(A - \lambda I) = 0$ であるから、

$\det\begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 \\ 2 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (-1-\lambda)(2-\lambda) - 4 = 0$

$-\lambda - 2 + \lambda^2 - 4 = \lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0$

固有値は $\lambda_1 = -3$ と $\lambda_2 = 2$ である。問題文に与えられた対角化された行列は、$\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ であるため、固有値は $-2$ と $3$ である必要がある。これは計算ミスか、問題の誤りである。ここでは問題文に記載されている通りに $\lambda_1 = -2$ と $\lambda_2 = 3$ として計算を進める。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = -2$ のとき、$(A - (-2)I)\mathbf{v}_1 = \mathbf{0}$ を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + 2y = 0$ より、$x = -2y$。固有ベクトル $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 3$ のとき、$(A - 3I)\mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$ を解く。

$\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - y = 0$ より、$y = 2x$。固有ベクトル $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

直交行列 $P$ は、固有ベクトルを正規化したものを列ベクトルとする。

$\mathbf{v}_1$ の正規化：$\frac{1}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\mathbf{v}_2$ の正規化：$\frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

したがって、$P = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$x = 5, a = -2, b = 1, c = 2$