与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 7 & 5 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

5 & 4 & 3 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 1 \\

7 & 5 & 4 & 2 \\

1 & 0 & 2 & 1

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの方法がありますが、ここでは、2行目の成分を利用して余因子展開を行う方法で解きます。

1. **2行目で余因子展開:**

行列式は、ある行または列の各成分とその余因子の積の和として計算できます。ここでは2行目を使って展開します。2行目は $0, 1, 0, 1$ なので計算が楽になります。行列式を $D$ とすると、

$D = 0 \cdot C_{21} + 1 \cdot C_{22} + 0 \cdot C_{23} + 1 \cdot C_{24} = C_{22} + C_{24}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の余因子です。

2. **余因子 $C_{22}$ の計算:**

$C_{22}$ は、2行2列目を取り除いた3x3行列の行列式に $(-1)^{2+2} = 1$ をかけたものです。

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

この3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 5(4-4) - 3(7-2) + 2(14-4) = 0 - 15 + 20 = 5$

したがって、$C_{22} = 5$

3. **余因子 $C_{24}$ の計算:**

$C_{24}$ は、2行4列目を取り除いた3x3行列の行列式に $(-1)^{2+4} = 1$ をかけたものです。

$C_{24} = (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 7 & 5 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 7 & 5 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

この3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 7 & 5 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (16 - 15) - 0 + 2 \cdot (25 - 28) = 1 - 6 = -5$

したがって、$C_{24} = -5$

4. **行列式の計算:**

$D = C_{22} + C_{24} = 5 + (-5) = 0$

3. 最終的な答え

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