画像の問題は、行列に関する計算問題です。具体的には、行列のサイズ、行列式の計算、行列の積の計算、逆行列の要素、行列の階数を求める問題が出題されています。

1. 問題の内容

画像の問題は、行列に関する計算問題です。具体的には、行列のサイズ、行列式の計算、行列の積の計算、逆行列の要素、行列の階数を求める問題が出題されています。

2. 解き方の手順

**[3] キ**

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & 7 \end{vmatrix} = 1(3\cdot7 - 6\cdot6) - 2(2\cdot7 - 6\cdot3) + 3(2\cdot6 - 3\cdot3) = 1(21-36) - 2(14-18) + 3(12-9) = -15 + 8 + 9 = 2$

**[3] ク**

行列式を計算します。2行目に沿って展開すると、

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 7 & 5 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 7 & 5 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 5(4-4) - 3(7-2) + 2(14-4) = 0 - 15 + 20 = 5$

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 3 \\ 7 & 5 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1(16-15) -0 + 2(25-28) = 1 - 6 = -5$

よって、5 - (-5) = 10

**[4] ケ、コ**

$A \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$の逆行列は、$\frac{1}{6-4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -6 & 5 \\ -12 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & \frac{5}{2} \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$

したがって、ケ = -3、コ = 5

**[5] サ、シ、ス**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ -2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

$det(A) = 1(2+5) - 1(-4-0) -5(2-0) = 7+4-10 = 1$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -3 & 0 \\ 4 & 2 & -5 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

よって、サ = 7、シ = 3、ス = 1

**[6] セ**

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 & -2 \\ 18 & 8 & -1 & -13 \\ 13 & 2 & -13 & 1 \\ 10 & 4 & -5 & -9 \end{pmatrix}$

行基本変形を行うことで階数を求めます。

$A$の階数は3。

3. 最終的な答え

キ = 2

ク = 10

ケ = -3

コ = 5

サ = 7

シ = 3

ス = 1

セ = 3