不等式 $\cos 2\theta > \sin \theta$ を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で解く。

1. 問題の内容

不等式 $\cos 2\theta > \sin \theta$ を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で解く。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ を用いて表す。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ であるから、不等式は以下のようになる。

$1 - 2\sin^2 \theta > \sin \theta$

これを整理すると、

$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 < 0$

ここで $x = \sin \theta$ とおくと、

$2x^2 + x - 1 < 0$

この2次不等式を解く。

$2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)$ であるから、

$(2x - 1)(x + 1) < 0$

したがって、$-1 < x < \frac{1}{2}$

$x = \sin \theta$ に戻すと、

$-1 < \sin \theta < \frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で $\sin \theta = -1$ となるのは $\theta = \frac{3\pi}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

したがって、$0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲において、$-1 < \sin \theta < \frac{1}{2}$ となるのは、

$0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$、$\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$、$\frac{3\pi}{2} < \theta \le 2\pi$

3. 最終的な答え

$0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta \le 2\pi$