数列 $2^2, 4^2, 6^2, \dots$ の第 $n$ 項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $2^2, 4^2, 6^2, \dots$ の第 $n$ 項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた数列は、一般項 $a_k = (2k)^2 = 4k^2$ で表される数列です。したがって、求めるべき和は、

$$S_n = \sum_{k=1}^n (2k)^2 = \sum_{k=1}^n 4k^2 = 4 \sum_{k=1}^n k^2$$

$\sum_{k=1}^n k^2$ は平方数の和の公式として知られており、

$$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

したがって、$S_n$ は

$$S_n = 4 \sum_{k=1}^n k^2 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$$

となります。

3. 最終的な答え

数列 $2^2, 4^2, 6^2, \dots$ の第 $n$ 項までの和は、

$$\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$$

です。