2次関数 $f(x) = x^2 + ax - 2a + 6$ の $x \geq 0$ における最小値を求め、さらにその最小値が1となるような $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 + ax - 2a + 6$ の $x \geq 0$ における最小値を求め、さらにその最小値が1となるような $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$f(x) = x^2 + ax - 2a + 6 = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} - 2a + 6$

軸は $x = -\frac{a}{2}$ です。

(i) $-\frac{a}{2} < 0$ つまり $a > 0$ のとき

$x \geq 0$ における最小値は $f(0)$ になります。

$f(0) = 0^2 + a(0) - 2a + 6 = -2a + 6$

(ii) $-\frac{a}{2} \geq 0$ つまり $a \leq 0$ のとき

$x \geq 0$ における最小値は $f(-\frac{a}{2})$ になります。

$f(-\frac{a}{2}) = -\frac{a^2}{4} - 2a + 6$

したがって、$x \geq 0$ における最小値は、

$a \leq 0$ のとき $- \frac{a^2}{4} - 2a + 6$

$a \geq 0$ のとき $- 2a + 6$

次に、$f(x)$ の $x \geq 0$ における最小値が1となる $a$ の値を求めます。

(1) $a \leq 0$ のとき、

$- \frac{a^2}{4} - 2a + 6 = 1$

$- a^2 - 8a + 24 = 4$

$a^2 + 8a - 20 = 0$

$(a + 10)(a - 2) = 0$

$a = -10$ または $a = 2$

$a \leq 0$ より、$a = -10$

(2) $a \geq 0$ のとき、

$-2a + 6 = 1$

$-2a = -5$

$a = \frac{5}{2}$

(1), (2) より、$a = -10, \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

ア：0

イ：4

ウ：2

エ：2

オカキ：5

ケ：2

したがって、$a \leq 0$ のとき、最小値は $-\frac{a^2}{4} - 2a + 6$

$a \geq 0$ のとき、最小値は $-2a + 6$

最小値が1となるのは $a = \frac{5}{2}, -10$ のとき。

$a = \frac{5}{2}$