$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲で、不等式 $\cos 2\theta > \sin \theta$ を解きます。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲で、不等式 $\cos 2\theta > \sin \theta$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin$ で表すために、2倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用います。

すると、不等式は次のようになります。

$1 - 2\sin^2 \theta > \sin \theta$

この不等式を整理すると、次のようになります。

$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 < 0$

ここで、$x = \sin \theta$ とおくと、不等式は次のようになります。

$2x^2 + x - 1 < 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $2x^2 + x - 1 = 0$ の解を求めます。

因数分解すると、$(2x - 1)(x + 1) = 0$ となるので、$x = \frac{1}{2}, -1$ です。

したがって、不等式 $2x^2 + x - 1 < 0$ の解は $-1 < x < \frac{1}{2}$ となります。

$x = \sin \theta$ に戻すと、$-1 < \sin \theta < \frac{1}{2}$ となります。

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ の範囲で、$\sin \theta = -1$ となるのは $\theta = \frac{3\pi}{2}$ であり、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

$\sin \theta > -1$ となるのは $\theta = \frac{3\pi}{2}$ 以外のすべての $\theta$ であり、$\sin \theta < \frac{1}{2}$ となるのは、$\theta$ が $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ を満たさない範囲です。

したがって、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta \leq 2\pi$ です。

ただし、$\sin \theta = -1$ となるのは除外されるので、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta \leq 2\pi$となります。

3. 最終的な答え

$0 \leq \theta < \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta \leq 2\pi$