$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}$ のとき、$x+y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}}$ のとき、$x+y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11}-\sqrt{10}}{(\sqrt{11}+\sqrt{10})(\sqrt{11}-\sqrt{10})} = \frac{\sqrt{11}-\sqrt{10}}{11-10} = \sqrt{11}-\sqrt{10}$

$y = \frac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{(\sqrt{11}-\sqrt{10})(\sqrt{11}+\sqrt{10})} = \frac{\sqrt{11}+\sqrt{10}}{11-10} = \sqrt{11}+\sqrt{10}$

したがって、

$x+y = (\sqrt{11}-\sqrt{10}) + (\sqrt{11}+\sqrt{10}) = 2\sqrt{11}$

3. 最終的な答え

$x+y = 2\sqrt{11}$