与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{5} + 1 + \sqrt{6}} = \frac{\boxed{オ} + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{\boxed{カキ}}$ において、$\boxed{オ}$ と $\boxed{カキ}$ に入る数字を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた式

$\frac{1}{\sqrt{5} + 1 + \sqrt{6}} = \frac{\boxed{オ} + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{\boxed{カキ}}$

において、$\boxed{オ}$ と $\boxed{カキ}$ に入る数字を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式の左辺の分母を有理化することを考えます。

$\sqrt{5} + 1 + \sqrt{6}$ を $(\sqrt{5} + 1) + \sqrt{6}$ と見て、まず $(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{6}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5} + 1 + \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{6}}{((\sqrt{5} + 1) + \sqrt{6})((\sqrt{5} + 1) - \sqrt{6})}$

$= \frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6}}{(\sqrt{5} + 1)^2 - (\sqrt{6})^2}$

$= \frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6}}{5 + 2\sqrt{5} + 1 - 6}$

$= \frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

次に、分母の $2\sqrt{5}$ を有理化するために、$\sqrt{5}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5} + 1 - \sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}}$

$= \frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}$

これにより、

$\frac{1}{\sqrt{5} + 1 + \sqrt{6}} = \frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}$

が得られます。したがって、

$\boxed{オ} = 5$

$\boxed{カキ} = 10$

3. 最終的な答え

オ: 5

カキ: 10