与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \\ -1 & 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} $

はい、承知いたしました。与えられた行列式の計算について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & -1 & 2 & 1 \\

0 & 1 & -2 & -1 \\

0 & 1 & 4 & 5 \\

-1 & 2 & 5 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行基本変形を行い、計算を簡略化します。

ステップ1: 4行目に1行目を足し、(1,1)成分を0にする。

$$

\begin{vmatrix}

1 & -1 & 2 & 1 \\

0 & 1 & -2 & -1 \\

0 & 1 & 4 & 5 \\

0 & 1 & 7 & 3

\end{vmatrix}

$$

ステップ2: 2行目以降から2列目の成分を使って、2列目以降の成分を計算する。3行目から2行目を引き、4行目から2行目を引く。

$$

\begin{vmatrix}

1 & -1 & 2 & 1 \\

0 & 1 & -2 & -1 \\

0 & 0 & 6 & 6 \\

0 & 0 & 9 & 4

\end{vmatrix}

$$

ステップ3: 1行目の成分を用いて、行列式を計算する。

$$

1 \cdot \begin{vmatrix}

1 & -2 & -1 \\

0 & 6 & 6 \\

0 & 9 & 4

\end{vmatrix}

$$

ステップ4: 3x3行列の行列式を計算する。

$$

1 \cdot (1 \cdot \begin{vmatrix}

6 & 6 \\

9 & 4

\end{vmatrix}) = 6 \cdot 4 - 6 \cdot 9 = 24 - 54 = -30

$$

3. 最終的な答え

行列式の値は-30です。

$\text{det} = -30$