3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1+3i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 + ax + b = 0$ が $1+3i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 複素数解の性質より、$1+3i$ が解ならば、$1-3i$ も解です。

(2) もう一つの解を $\alpha$ とすると、解と係数の関係より、

$\begin{cases}

(1+3i) + (1-3i) + \alpha = 1 \\

(1+3i)(1-3i) + (1+3i)\alpha + (1-3i)\alpha = a \\

(1+3i)(1-3i)\alpha = -b

\end{cases}$

(3) 1つ目の式から、

$2 + \alpha = 1$

$\alpha = -1$

よって、他の解は $-1$ です。

(4) 2つ目の式から、

$(1^2 + 3^2) + (1+3i)\alpha + (1-3i)\alpha = a$

$10 + 2\alpha = a$

$10 + 2(-1) = a$

$a = 8$

(5) 3つ目の式から、

$10\alpha = -b$

$10(-1) = -b$

$b = 10$

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = 10$

他の解は $-1$