与えられた放物線 $y = x^2 - 6x$ を$C$とします。 (1) $C$をx軸、y軸、原点に関してそれぞれ対称移動したときの関数を求めます。 (2) $y = x^2 - 5x + 2$ ($0 \le x \le 3$) の最小値と最大値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた放物線 $y = x^2 - 6x$ を$C$とします。

(1) $C$をx軸、y軸、原点に関してそれぞれ対称移動したときの関数を求めます。

(2) $y = x^2 - 5x + 2$ ($0 \le x \le 3$) の最小値と最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

① x軸に関して対称移動: $y$を$-y$に置き換えます。

$-y = x^2 - 6x$ より、 $y = -x^2 + 6x$ となります。したがって、1の答えはアです。

② y軸に関して対称移動: $x$を$-x$に置き換えます。

$y = (-x)^2 - 6(-x)$ より、 $y = x^2 + 6x$ となります。したがって、2の答えはエです。

③ 原点に関して対称移動: $x$を$-x$, $y$を$-y$に置き換えます。

$-y = (-x)^2 - 6(-x)$ より、 $-y = x^2 + 6x$, $y = -x^2 - 6x$ となります。したがって、3の答えはウです。

(2)

$y = x^2 - 5x + 2$ を平方完成します。

$y = (x - \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + 2$

$y = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{8}{4}$

$y = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{17}{4}$

軸は $x = \frac{5}{2}$ です。定義域は $0 \le x \le 3$ なので、軸は定義域に含まれます。

最小値は $x = \frac{5}{2}$ のとき、$y = -\frac{17}{4}$ です。したがって、4の答えはウです。

最大値は定義域の端点で考えます。

$x = 0$ のとき $y = 0^2 - 5(0) + 2 = 2$

$x = 3$ のとき $y = 3^2 - 5(3) + 2 = 9 - 15 + 2 = -4$

したがって、最大値は$x = 0$のときの$y = 2$です。したがって、5の答えはアです。

3. 最終的な答え

1: ア

2: エ

3: ウ

4: ウ

5: ア