(1) $4x + 3y + z = 16$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求めよ。 (2) $2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 7 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を全て求めよ。ただし、問題用紙に記述されている選択肢から選ぶ形式になっている。

1. 問題の内容

(1) $4x + 3y + z = 16$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求めよ。

(2) $2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 7 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を全て求めよ。ただし、問題用紙に記述されている選択肢から選ぶ形式になっている。

2. 解き方の手順

(1)

$x, y, z$ は自然数であるから、$x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ である。

$z = 16 - 4x - 3y$

$z \ge 1$ より、 $16 - 4x - 3y \ge 1$

$4x + 3y \le 15$

$x=1$ のとき、$3y \le 11$, $y \le \frac{11}{3} = 3.66...$ なので、$y = 1, 2, 3$

$x=2$ のとき、$3y \le 7$, $y \le \frac{7}{3} = 2.33...$ なので、$y = 1, 2$

$x=3$ のとき、$3y \le 3$, $y \le 1$ なので、$y = 1$

したがって、組 $(x, y)$ は $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)$ の 6 通り。

$(x, y, z)$ を求めると

$(1, 1, 9), (1, 2, 6), (1, 3, 3), (2, 1, 5), (2, 2, 2), (3, 1, 1)$

よって、6個

(2)

$2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 7 = 0$

$2x^2 + 7xy + 6y^2 = (2x + 3y)(x + 2y)$ なので

$(2x + 3y)(x + 2y) = y + 7$

選択肢から探す。

(2, 1): $(4+3)(2+2) = 7 * 4 = 28$, $1+7=8$ だからだめ

(2, -1): $(4-3)(2-2) = 1 * 0 = 0$, $-1+7=6$ だからだめ

(-2, 1): $(-4+3)(-2+2) = -1 * 0 = 0$, $1+7=8$ だからだめ

(3, -1): $(6-3)(3-2) = 3 * 1 = 3$, $-1+7=6$ だからだめ

(-3, 2): $(-6+6)(-3+4) = 0 * 1 = 0$, $2+7=9$ だからだめ

(5, -4): $(10-12)(5-8) = -2 * -3 = 6$, $-4+7=3$ だからだめ

(-8, 5): $(-16+15)(-8+10) = -1 * 2 = -2$, $5+7=12$ だからだめ

(-9, 5): $(-18+15)(-9+10) = -3 * 1 = -3$, $5+7=12$ だからだめ

(-10, 7): $(-20+21)(-10+14) = 1 * 4 = 4$, $7+7=14$ だからだめ

(-11, 7): $(-22+21)(-11+14) = -1 * 3 = -3$, $7+7=14$ だからだめ

(-12, 7): $(-24+21)(-12+14) = -3 * 2 = -6$, $7+7=14$ だからだめ

(-13, 8): $(-26+24)(-13+16) = -2 * 3 = -6$, $8+7=15$ だからだめ

(4, -1): $(8-3)(4-2) = 5 * 2 = 10$, $-1+7=6$ だからだめ

(5, -1): $(10-3)(5-2) = 7 * 3 = 21$, $-1+7=6$ だからだめ

(7, -2): $(14-6)(7-4) = 8 * 3 = 24$, $-2+7=5$ だからだめ

もし元の式に間違いがなければ、選択肢の中に解は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 6個

(2) 解なし（選択肢の中にはない）