(1) 方程式 $4x + 3y + z = 16$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求める。 (2) 方程式 $2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 7 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める。

1. 問題の内容

(1) 方程式 $4x + 3y + z = 16$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求める。

(2) 方程式 $2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 7 = 0$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x, y, z$ は自然数なので、$x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1$ である。

$z = 16 - 4x - 3y$

$z \ge 1$ より、$16 - 4x - 3y \ge 1$

$4x + 3y \le 15$

$x=1$ のとき、$3y \le 11$ より、$y=1, 2, 3$

$x=2$ のとき、$3y \le 7$ より、$y=1, 2$

$x=3$ のとき、$3y \le 3$ より、$y=1$

したがって、$(x, y, z)$ は、

$(1, 1, 9), (1, 2, 6), (1, 3, 3), (2, 1, 5), (2, 2, 2), (3, 1, 1)$

の6組である。

(2)

$2x^2 + 7xy + 6y^2 - y - 7 = 0$

$2x^2 + (7y)x + (6y^2 - y - 7) = 0$

$x = \frac{-7y \pm \sqrt{(7y)^2 - 4(2)(6y^2 - y - 7)}}{2(2)}$

$x = \frac{-7y \pm \sqrt{49y^2 - 48y^2 + 8y + 56}}{4}$

$x = \frac{-7y \pm \sqrt{y^2 + 8y + 56}}{4}$

$y^2 + 8y + 56 = k^2$ ($k$ は整数)

$(y + 4)^2 - 16 + 56 = k^2$

$(y + 4)^2 + 40 = k^2$

$k^2 - (y + 4)^2 = 40$

$(k - (y + 4))(k + (y + 4)) = 40$

$(k - y - 4)(k + y + 4) = 40$

$k - y - 4 = a, k + y + 4 = b$ とすると $ab = 40$

$2k = a + b$

$2(y + 4) = b - a$

$y = \frac{b - a}{2} - 4$

$k = \frac{a + b}{2}$

$a < b$ としても一般性を失わない。

(a, b) = (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)

(1, 40): $y = \frac{40 - 1}{2} - 4 = \frac{39}{2} - 4 = \frac{31}{2}$ (整数でない)

(2, 20): $y = \frac{20 - 2}{2} - 4 = 9 - 4 = 5$

$x = \frac{-7(5) \pm \sqrt{5^2 + 8(5) + 56}}{4} = \frac{-35 \pm \sqrt{25 + 40 + 56}}{4} = \frac{-35 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{-35 \pm 11}{4}$

$x = \frac{-24}{4}, \frac{-46}{4}$

$x = -6$

(4, 10): $y = \frac{10 - 4}{2} - 4 = 3 - 4 = -1$

$x = \frac{-7(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 + 8(-1) + 56}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{1 - 8 + 56}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{7 \pm 7}{4}$

$x = \frac{14}{4}, \frac{0}{4}$

$x = 0$

(5, 8): $y = \frac{8 - 5}{2} - 4 = \frac{3}{2} - 4 = \frac{-5}{2}$ (整数でない)

したがって、$(x, y) = (-6, 5), (0, -1)$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) $(x, y) = (-6, 5), (0, -1)$