与えられた4次方程式 $x^4 + 3x^2 + 4 = 0$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 + 3x^2 + 4 = 0$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成の形に変形し、因数分解を行います。

まず、$x^4 + 3x^2 + 4$ を以下のように変形します。

$x^4 + 4x^2 + 4 - x^2 = (x^2 + 2)^2 - x^2$

これは、二乗の差の形なので、さらに因数分解できます。

$(x^2 + 2 + x)(x^2 + 2 - x) = (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2) = 0$

したがって、

$x^2 + x + 2 = 0$ または $x^2 - x + 2 = 0$

これらの2次方程式を解の公式を用いて解きます。

$x^2 + x + 2 = 0$ の解は、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

$x^2 - x + 2 = 0$ の解は、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{-1 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{7}}{2}, \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$