ある反復運動について、運動の負荷を $x$ ($0 \le x \le 20$) とするとき、1回あたりの効果は $10+x$、反復可能回数は $40-2x$ で表される。反復運動全体の効果は、1回あたりの効果と反復可能回数の積で求められる。 (1) 負荷が10のとき、反復運動全体の効果を求める。 (2) 反復運動全体で最大の効果を与える負荷を求める。 (3) 別の反復運動について、1回あたりの効果が $15+3x$ の場合、最大の効果を求める。ただし、反復可能回数は変わらないものとする。

1. 問題の内容

ある反復運動について、運動の負荷を $x$ ($0 \le x \le 20$) とするとき、1回あたりの効果は $10+x$、反復可能回数は $40-2x$ で表される。反復運動全体の効果は、1回あたりの効果と反復可能回数の積で求められる。

(1) 負荷が10のとき、反復運動全体の効果を求める。

(2) 反復運動全体で最大の効果を与える負荷を求める。

(3) 別の反復運動について、1回あたりの効果が $15+3x$ の場合、最大の効果を求める。ただし、反復可能回数は変わらないものとする。

2. 解き方の手順

(1) 負荷が10のとき、$x=10$ をそれぞれの式に代入して、1回あたりの効果と反復可能回数を求める。

1回あたりの効果: $10+x = 10+10 = 20$

反復可能回数: $40-2x = 40-2(10) = 40-20 = 20$

反復運動全体の効果は、1回あたりの効果と反復可能回数の積なので、$20 \times 20 = 400$

(2) 反復運動全体の効果を $y$ とすると、

$y = (10+x)(40-2x) = 400 -20x + 40x -2x^2 = -2x^2 + 20x + 400$

$y$ が最大になる $x$ を求めるために、平方完成を行う。

$y = -2(x^2 - 10x) + 400 = -2(x^2 - 10x + 25 - 25) + 400 = -2((x-5)^2 - 25) + 400 = -2(x-5)^2 + 50 + 400 = -2(x-5)^2 + 450$

$0 \le x \le 20$ なので、$x=5$ のとき、$y$ は最大値450をとる。

(3) 1回あたりの効果が $15+3x$ の場合、反復運動全体の効果 $z$ は、

$z = (15+3x)(40-2x) = 600 - 30x + 120x - 6x^2 = -6x^2 + 90x + 600$

$z$ が最大になる $x$ を求めるために、平方完成を行う。

$z = -6(x^2 - 15x) + 600 = -6(x^2 - 15x + (\frac{15}{2})^2 - (\frac{15}{2})^2) + 600 = -6((x-\frac{15}{2})^2 - \frac{225}{4}) + 600 = -6(x-\frac{15}{2})^2 + \frac{675}{2} + 600 = -6(x-\frac{15}{2})^2 + \frac{675+1200}{2} = -6(x-\frac{15}{2})^2 + \frac{1875}{2}$

$0 \le x \le 20$ なので、$x=\frac{15}{2} = 7.5$ のとき、$z$ は最大値 $\frac{1875}{2}=937.5$をとる。

3. 最終的な答え

(1) 400

(2) 5

(3) 937.5