因数定理を用いて、以下の2つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 - 2x^2 - x + 2$ (2) $x^3 + 7x^2 + 7x - 15$

1. 問題の内容

因数定理を用いて、以下の2つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 - 2x^2 - x + 2$

(2) $x^3 + 7x^2 + 7x - 15$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^3 - 2x^2 - x + 2$ を因数分解します。

$P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ とおきます。

$P(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$ なので、$x - 1$ を因数に持ちます。

組み立て除法を用いて、$x^3 - 2x^2 - x + 2$ を $x - 1$ で割ると、

$x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x^2 - x - 2)$

さらに、$x^2 - x - 2$ を因数分解すると、

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

よって、$x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x - 2)(x + 1)$

(2)

次に、$x^3 + 7x^2 + 7x - 15$ を因数分解します。

$Q(x) = x^3 + 7x^2 + 7x - 15$ とおきます。

$Q(1) = 1 + 7 + 7 - 15 = 0$ なので、$x - 1$ を因数に持ちます。

組み立て除法を用いて、$x^3 + 7x^2 + 7x - 15$ を $x - 1$ で割ると、

$x^3 + 7x^2 + 7x - 15 = (x - 1)(x^2 + 8x + 15)$

さらに、$x^2 + 8x + 15$ を因数分解すると、

$x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)$

よって、$x^3 + 7x^2 + 7x - 15 = (x - 1)(x + 3)(x + 5)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x - 2)(x + 1)$

(2) $(x - 1)(x + 3)(x + 5)$