問題は、与えられた整式 $P(x)$ を、指定された一次式で割った余りを求めるものです。余りの定理を利用して解きます。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $P(x) = 2x^2 - 3x + 2$ を $x-1$ で割った余り (2) $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$ を $x+1$ で割った余り (3) $P(x) = x^3 - 19x + 30$ を $x+2$ で割った余り (4) $P(x) = -x^3 + x^2 - 36$ を $x+3$ で割った余り

1. 問題の内容

問題は、与えられた整式 $P(x)$ を、指定された一次式で割った余りを求めるものです。余りの定理を利用して解きます。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $P(x) = 2x^2 - 3x + 2$ を $x-1$ で割った余り

(2) $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$ を $x+1$ で割った余り

(3) $P(x) = x^3 - 19x + 30$ を $x+2$ で割った余り

(4) $P(x) = -x^3 + x^2 - 36$ を $x+3$ で割った余り

2. 解き方の手順

余りの定理とは、$P(x)$ を $x-a$ で割った余りは $P(a)$ であるというものです。したがって、各問題について、指定された一次式が $x-a$ の形になるように $a$ を求め、$P(a)$ を計算することで余りを求めることができます。

(1) $x-1$ で割るので、$a=1$ です。

$P(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 2 = 2 - 3 + 2 = 1$

(2) $x+1$ で割るので、$x+1 = x - (-1)$ より $a = -1$ です。

$P(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) + 3 = -1 - 3 + 1 + 3 = 0$

(3) $x+2$ で割るので、$x+2 = x - (-2)$ より $a = -2$ です。

$P(-2) = (-2)^3 - 19(-2) + 30 = -8 + 38 + 30 = 60$

(4) $x+3$ で割るので、$x+3 = x - (-3)$ より $a = -3$ です。

$P(-3) = -(-3)^3 + (-3)^2 - 36 = -(-27) + 9 - 36 = 27 + 9 - 36 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 0

(3) 60

(4) 0