2次関数が $x=3$ で最大値 $7$ をとり、$x=1$ で $y=-5$ となる。この条件を満たす2次関数を求める。

1. 問題の内容

2次関数が $x=3$ で最大値 $7$ をとり、$x=1$ で $y=-5$ となる。この条件を満たす2次関数を求める。

2. 解き方の手順

* 2次関数の最大値が与えられているので、平方完成形の式を利用する。

最大値が7で、$x=3$のとき最大値をとるので、2次関数は

$y = a(x-3)^2 + 7$

と表せる。ここで、$a$ は定数である。

* $x=1$ のとき $y=-5$ であるという条件から、$a$ の値を求める。

上記の式に $x=1$, $y=-5$ を代入すると、

$-5 = a(1-3)^2 + 7$

$-5 = 4a + 7$

$4a = -12$

$a = -3$

* 求めた $a$ の値を元の式に代入する。

$y = -3(x-3)^2 + 7$

* この式を展開して、一般形にする。

$y = -3(x^2 - 6x + 9) + 7$

$y = -3x^2 + 18x - 27 + 7$

$y = -3x^2 + 18x - 20$

3. 最終的な答え

$y = -3x^2 + 18x - 20$