放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 + ax + 2$ の頂点が $(1, b)$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 + ax + 2$ の頂点が $(1, b)$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線の式を平方完成します。

$y = \frac{1}{2}x^2 + ax + 2$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2ax) + 2$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) + 2$

$y = \frac{1}{2}(x + a)^2 - \frac{1}{2}a^2 + 2$

したがって、放物線の頂点は $(-a, -\frac{1}{2}a^2 + 2)$ です。

問題文より、頂点は $(1, b)$ であるので、次の2つの式が成り立ちます。

$-a = 1$

$-\frac{1}{2}a^2 + 2 = b$

最初の式から、$a = -1$ が求まります。

これを2番目の式に代入すると、

$b = -\frac{1}{2}(-1)^2 + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = \frac{3}{2}$