初項が70、公差が-6である等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 第何項が初めて負の数になるか。 (2) 初項から第何項までの和が最大になるか。また、その和を求めよ。

1. 問題の内容

初項が70、公差が-6である等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 第何項が初めて負の数になるか。

(2) 初項から第何項までの和が最大になるか。また、その和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の一般項 $a_n$ は、初項 $a_1$ と公差 $d$ を用いて、$a_n = a_1 + (n-1)d$ と表されます。

この問題では、$a_1 = 70$, $d = -6$ なので、

$a_n = 70 + (n-1)(-6) = 70 - 6n + 6 = 76 - 6n$ となります。

$a_n < 0$ となる $n$ を求めるには、$76 - 6n < 0$ を解きます。

$6n > 76$

$n > \frac{76}{6} = \frac{38}{3} = 12\frac{2}{3}$

$n$ は整数なので、$n > 12\frac{2}{3}$ を満たす最小の整数は $n = 13$ です。

したがって、第13項が初めて負の数になります。

(2)

等差数列の和 $S_n$ は、$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ で表されます。

$S_n$ が最大になるのは、$a_n$ が初めて負の数になる直前までを足し合わせたときです。

つまり、$a_n \ge 0$ である最大の $n$ を求めます。

$76 - 6n \ge 0$

$6n \le 76$

$n \le \frac{76}{6} = \frac{38}{3} = 12\frac{2}{3}$

$n$ は整数なので、$n \le 12\frac{2}{3}$ を満たす最大の整数は $n = 12$ です。

したがって、初項から第12項までの和が最大になります。

$a_{12} = 76 - 6(12) = 76 - 72 = 4$

$S_{12} = \frac{12}{2}(70 + 4) = 6(74) = 444$

3. 最終的な答え

(1) 第13項

(2) 第12項まで、和は444