与えられた数学の問題は、2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の解 $\alpha$ と $\beta$ ($\alpha < \beta$) を求め、その解に関するいくつかの値を計算し、不等式を解き、さらに別の不等式と組み合わせた条件を満たす整数解の個数を求めるものです。加えて、$x \le \sqrt{c^2 - 2c + 1}$ という不等式があり、この不等式と最初の不等式の両方を満たす正の整数 $x$ の個数が 5 個になるような $c$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の解 $\alpha$ と $\beta$ ($\alpha < \beta$) を求め、その解に関するいくつかの値を計算し、不等式を解き、さらに別の不等式と組み合わせた条件を満たす整数解の個数を求めるものです。加えて、$x \le \sqrt{c^2 - 2c + 1}$ という不等式があり、この不等式と最初の不等式の両方を満たす正の整数 $x$ の個数が 5 個になるような $c$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の解を求める。

解の公式を用いて、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

$\alpha < \beta$ より、$\alpha = 2 - \sqrt{2}$、$\beta = 2 + \sqrt{2}$。

(2) $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を計算する。

$\alpha + \beta = (2 - \sqrt{2}) + (2 + \sqrt{2}) = 4$

$\alpha \beta = (2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) = 4 - 2 = 2$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$ を計算する。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 4^2 - 2(2) = 16 - 4 = 12$

(4) 不等式 $(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha})x + 3(\alpha^2 - \beta^2) < 0$ を解く。

$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{12}{2} = 6$

$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 4(2 - \sqrt{2} - (2 + \sqrt{2})) = 4(-2\sqrt{2}) = -8\sqrt{2}$

したがって、不等式は $6x + 3(-8\sqrt{2}) < 0$ となり、$6x - 24\sqrt{2} < 0$。

$6x < 24\sqrt{2}$ より、$x < 4\sqrt{2}$。

$4\sqrt{2} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{32}$ であり、$\sqrt{32}$ は 5 と 6 の間にある。

$5 < 4\sqrt{2} < 6$ である。$4\sqrt{2} \approx 5.656$

(5) 不等式 $x < 4\sqrt{2}$ を満たす正の整数の個数は 5 個である。(1, 2, 3, 4, 5)

(6) 不等式 $x \le \sqrt{c^2 - 2c + 1}$ を考える。

$\sqrt{c^2 - 2c + 1} = \sqrt{(c-1)^2} = |c-1|$

したがって、不等式は $x \le |c-1|$。

(7) $x \le |c-1|$ かつ $x < 4\sqrt{2}$ を満たす正の整数 $x$ の個数が 5 個であるような $c$ の範囲を求める。

正の整数解が 5 個であることから、$5 \le |c-1| < 6$ である必要がある。

場合1: $c-1 \ge 0$ すなわち $c \ge 1$ のとき、$5 \le c-1 < 6$ より、$6 \le c < 7$

場合2: $c-1 < 0$ すなわち $c < 1$ のとき、$5 \le -(c-1) < 6$ より、$5 \le 1-c < 6$

$-6 < c-1 \le -5$

$-5 < c \le -4$

したがって、$c$ の範囲は $-5 < c \le -4$ または $6 \le c < 7$。

3. 最終的な答え

* $\alpha = 2 - \sqrt{2}$

* $\beta = 2 + \sqrt{2}$

* $\alpha + \beta = 4$

* $\alpha \beta = 2$

* $\alpha^2 + \beta^2 = 12$

* 不等式を満たす正の整数の個数は 5 個。

* $c$ の範囲は $-5 < c \le -4$ または $6 \le c < 7$。

（クケ＝-5, コ＝-4, 6, 7)