自然数 $n$ に対し、整式 $x^{n+1} + x^n$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りを $a_n x + b_n$ と表す。以下の問いに答えよ。 (1) $a_1, b_1$ の値を求めよ。 (2) $a_n x^2 + b_n x$ を $x^2 - x + 1$ で割った商と余りを、$a_n, b_n, x$ を用いてそれぞれ表せ。 (3) $a_{n+1}, b_{n+1}$ を $a_n, b_n$ を用いてそれぞれ表せ。 (4) $a_{n+3}$ を $a_n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対し、整式 $x^{n+1} + x^n$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りを $a_n x + b_n$ と表す。以下の問いに答えよ。

(1) $a_1, b_1$ の値を求めよ。

(2) $a_n x^2 + b_n x$ を $x^2 - x + 1$ で割った商と余りを、$a_n, b_n, x$ を用いてそれぞれ表せ。

(3) $a_{n+1}, b_{n+1}$ を $a_n, b_n$ を用いてそれぞれ表せ。

(4) $a_{n+3}$ を $a_n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $n = 1$ のとき、$x^{n+1} + x^n = x^2 + x$ を $x^2 - x + 1$ で割る。

$x^2 + x = 1 \cdot (x^2 - x + 1) + (2x - 1)$

したがって、$a_1 = 2, b_1 = -1$。

(2) $a_n x^2 + b_n x$ を $x^2 - x + 1$ で割る。

$a_n x^2 + b_n x = a_n (x^2 - x + 1) + (a_n + b_n) x - a_n$

よって、商は $a_n$、余りは $(a_n + b_n) x - a_n$。

(3) $x^{n+2} + x^{n+1}$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りが $a_{n+1} x + b_{n+1}$ である。

$x^{n+2} + x^{n+1} = x(x^{n+1} + x^n) = x( (x^2-x+1)q(x) + a_n x + b_n )$ for some polynomial $q(x)$.

$x(x^{n+1} + x^n) = x(x^2-x+1)q(x) + a_n x^2 + b_n x$

よって、$x^{n+2} + x^{n+1}$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りは、$a_n x^2 + b_n x$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りと一致する。

(2)より、$a_n x^2 + b_n x = a_n (x^2 - x + 1) + (a_n + b_n) x - a_n$。

したがって、$a_{n+1} = a_n + b_n, b_{n+1} = -a_n$。

(4) $a_{n+2} = a_{n+1} + b_{n+1} = (a_n + b_n) - a_n = b_n$

$a_{n+3} = a_{n+2} + b_{n+2} = b_n + (-a_{n+1}) = b_n - (a_n + b_n) = -a_n$

したがって、$a_{n+3} = -a_n$。

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 2, b_1 = -1$

(2) 商: $a_n$, 余り: $(a_n + b_n)x - a_n$

(3) $a_{n+1} = a_n + b_n, b_{n+1} = -a_n$

(4) $a_{n+3} = -a_n$